通過成對關系檢查隊列一致性的高效算法

Question

我們有 n 個項目進入和離開隊列，它們可以隨時進入和離開。 我們得到的信息是，對於每一對 (a,b)，我們知道 1) a 在 b 進入之前離開隊列，反之亦然； 2) 在某個時刻，a 和 b 同時在隊列中。 或 3) 根本沒有任何信息。 假設我們得到了所有（n 選擇 2）對的成對信息列表，找到一個 O(n^2) 算法來確定信息中是否存在任何不一致。

例如，a在b進入之前離開（為簡單起見，寫為a>b），b>c，c=a是不一致的，因為沒有a,b,c的時間線可能進入和離開的隊列使所有三個陳述都成立。 我想過把它變成一個圖橫向問題，每個項目作為一個頂點，成對關系作為一條邊，如果 a>b 或 b<a 則它是有向邊，如果 a=b 則它是無向邊，那么這個問題可能簡化為混合圖中（具有有向或無向邊）中的某種循環檢測，其中可以應用 DFS 或 BFS 等算法。 然而，不僅僅是任何一種循環都會導致不一致，顯然如果循環中的所有邊都是有向的，那么它肯定是不一致的，因為 > 或 < 是可傳遞的。 但是，如果循環中的所有邊都是無向的，則不存在不一致。 或者，如果有些是有向的或有些是無向的，則可能不一致或一致。 例如a>b、b>c、c=a不一致，而a=b、b=c、c>a一致。

任何輸入和想法將不勝感激！

Answer 1

將其視為一個有向圖，如果a在b進入之前離開，則從a到b有一條弧線，反之亦然。

對於同時在隊列中的節點 (x,y)，注意這意味着對於每個頂點 w，一致圖沒有 x < w < y，也沒有 x > w >是的。 通過將這些節點合並為一個節點來反映這一點，保留所有弧。

然后，運行拓撲排序以找到節點的拓撲排序。

當且僅當沒有拓撲排序時才存在不一致。

運行時間：拓撲排序為 O(nodes + edges)，即 O(n^2)。