大师法：分而治之

Question

根据我的评估，以下算法的总体渐近运行时间为O(n) ，因为x （递归次数）为 1， y为（拆分次数）为 2 ，最后为z （数量的幂）在递归调用之外完成的工作）为 1，因此 x<y^{d}，但我的回答是错误的。 为什么？

    FastPower(a,b) :
    if b = 1
      return a
    else
      c := a*a
      ans := FastPower(c,[b/2])
    if b is odd
      return a*ans
    else return ans
  end

Answer 1

所以，首先，你说的n是什么意思并不是很清楚，但我猜|b| 将是最自然的（因为a不影响运行时）。 你的分析大部分是正确的，但错误是说 z=1。 在递归之外有持续的工作要做，但这并不意味着 z，“在递归调用之外完成的工作量的幂”，是 1。要得到 z，你可以将该工作表示为多项式函数n：f(n)=n^z=1，所以z=0。

所以这意味着 x = y^d (1 = 2^0) 而不是 x < y^d，改变了你应用的主定理的情况。 你得到的不是 T(n) = O(n)，而是 T(n) = n^0*log(n) = O(log(n))，这应该是你所期望的，因为问题被一分为二在每次递归调用中，在每次调用中只进行持续的工作。