大師法：分而治之

Question

根據我的評估，以下算法的總體漸近運行時間為O(n) ，因為x （遞歸次數）為 1， y為（拆分次數）為 2 ，最后為z （數量的冪）在遞歸調用之外完成的工作）為 1，因此 x<y^{d}，但我的回答是錯誤的。 為什么？

    FastPower(a,b) :
    if b = 1
      return a
    else
      c := a*a
      ans := FastPower(c,[b/2])
    if b is odd
      return a*ans
    else return ans
  end

Answer 1

所以，首先，你說的n是什么意思並不是很清楚，但我猜|b| 將是最自然的（因為a不影響運行時）。 你的分析大部分是正確的，但錯誤是說 z=1。 在遞歸之外有持續的工作要做，但這並不意味着 z，“在遞歸調用之外完成的工作量的冪”，是 1。要得到 z，你可以將該工作表示為多項式函數n：f(n)=n^z=1，所以z=0。

所以這意味着 x = y^d (1 = 2^0) 而不是 x < y^d，改變了你應用的主定理的情況。 你得到的不是 T(n) = O(n)，而是 T(n) = n^0*log(n) = O(log(n))，這應該是你所期望的，因為問題被一分為二在每次遞歸調用中，在每次調用中只進行持續的工作。