自动机 - 正则表达式（Union Case）

Question

自动机 1) 识别至少有 2 个 a 的字符串

正则表达式 = b*ab*a(a+b)*

自动机 2) 识别至少有 2 个 b 的字符串

正则表达式 = a*ba*b(a+b)*

从A3 = A1 U A2得到的正则表达式等价于R3 = R1 + R2？ 或者不是？

R3 = b*ab*a(a+b)* + a*ba*b(a+b)*

Answer 1

正则表达式不像有限状态解析器，尝试将它们合并到复杂的解析场景中通常是错误的。

而且，它们还是解决特定问题的绝佳工具。 阅读您的描述性需求后，有一个简单的正则表达式可以完成它，但方式可能出乎您的意料。 您的要求：

1. 至少有 2 个 a 的字符串

2. 至少有 2 个 b 的字符串

3. 两者的并集，或至少有两个 a 或两个 b 的字符串

   ([ab]).*?\\1

此表达式打开一个捕获组以捕获 a 或 b。 然后它允许零个或多个“任何字符”后跟捕获组中捕获的任何字符 (\\1)。

Answer 2

任何语言都没有“一个”自动机或“一个”正则表达式； 通常有许多合理的和更多（可能无限多）不合理的。 从这个意义上说，您的问题并不完全恰当：对应于两个 DFA 联合的正则表达式可能看起来也可能不像原始 DFA 的正则表达式，+'ed 在一起。

所以，如果你的意思是，它们看起来能一样吗，答案很可能是肯定的。 如果你的意思是，它们必须看起来一样，答案可能是否定的。 相反，如果您想要修复构建联合机和获取正则表达式的算法，也许我们可以证明固定的方法总是给出相同的答案。

在您的具体情况下，应用笛卡尔乘积机构造为原始 DFA 的并集获得 DFA，然后根据 DFA 和 RE 之间的等价性证明应用该构造，我们可以看到通过 +' 获得的 RE 的结构无法从 DFA 开始获取原始 RE； 您需要 NFA 才能在 LHS 和 RHS 之间获得 +，但 DFA 只能在单个符号之间进行 +，而不能在子表达式之间进行。 当然，可以对 RE 进行代数运算来导出目标 RE，但这并不完全相同。

以上所有内容都适用于 RE 的平等问题。 但是，您询问了等效性。 如果两个 RE 生成相同的语言，我们几乎总是说它们是等价的。 如果这就是你的意思，那么是的，+ing 两个 RE 将给出一个 RE 等同于通过构建联合机并从中派生 RE 获得的 RE。 RE 看起来不一样，但会生成相同的语言，就像 (ab + e)(abab)* 和 (ab)* 尽管看起来有点不同但生成相同的语言一样。