为什么0.1的浮点表示以1结尾？

Question

我一直在写一个小数到单精度 IEEE754 浮点转换器，我发现了一些数字的差异，比如 0.1 和 0.2

让我们取 0.1，第一步是将其转换为简单的二进制表示（将小数部分乘以 2 并取整数部分）这给了我一个众所周知的循环二进制模式（001100110011 ...）

0.1（最多 26 位）的最终二进制表示为 0. 00 0110 0110 0110 0110 0110 0110。

为了将其放入 32 位浮点数，下一步是通过将小数点向右移动 4 次，删除前导 1.，并将其截断为 23 位来对其进行归一化。 这给我留下了 10011001100110011001100。大多数编程语言给我 10011001100110011001101（最后一位是 1 而不是 0）。 我在这里做错了什么？

Answer 1

... 删除前导 1.，并将其截断为 23 位。

错误操作： round ，而不是truncate 。 错误的操作顺序 - 舍入，然后删除前导 1。

...仍然不知道它是如何被翻转的

无限精确的二进制答案四舍五入到最接近的float 。

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对于普通的float32 ，有效数是 24 位^*1 。 超过 24 位的值的转换通常是一个round ^*2 ，而不是截断。 其余位是 110_0110_...

        123 4567 8901 2345 6789 0123 4
0 . 00 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 ...
        ^----------------------------^
0 . 00 0110 0110 0110 0110 0110 0110 1 rounded
         10 0110 0110 0110 0110 0110 1 encoded 23-bits

舍入发生在前导位作为编码的一部分被删除之前，因为最高有效位的位置可能会改变。

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笔记：

0.000110011001100110011001100           (binary) = 0.0999999940395355224609375000 (decimal)
0.0001100110011001100110011001100110... (binary) = 0.1                            (decimal)
0.000110011001100110011001101 (closer)  (binary) = 0.1000000014901161193847656250 (decimal)
 
        

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^*1隐含最高有效 1 位，显式编码 23 位。
^*2四舍五入到最接近，并列到偶数。