通过纸浆最大化决策变量的标准差

Question

我是使用 PuLP 的新手，我正在尝试将标准偏差编程为优化问题中的目标函数。 我已经阅读了这个答案，虽然我知道它是相关的，但我无法将其应用于我的具体情况。

我正在尝试解决以下优化问题：最大化一组 3 个决策变量的标准差，相关权重向量为 [0.25、0.40 和 0.35]。 我的限制是每个决策变量应该在 0.5 到 2.0 之间。 （这是一个简化的示例；在实践中，我将拥有更大的决策变量集和更大的相应权重向量）。

到目前为止，我的代码如下：

from pulp import LpMaximize, LpProblem, LpVariable

# Create the model
model = LpProblem(name="max_stdev", sense=LpMaximize)

# Define the decision variables
x = {i: LpVariable(name=f"x{i}", lowBound=0.5, upBound=2.0) for i in range(3)}

# Add the constraints to the model
model += (0.25*x[0] + 0.40*x[1] + 0.35*x[2] == 1, "weight_constraint")

# Add the objective function to the model, which should be the standard deviation of the x vector
model += ??

# Solve the problem
status = model.solve()

我只是不确定如何以目标函数的形式应用标准偏差公式（见上文）。 同样，我知道这个答案可能很有用，但我只是不确定如何使它工作。

非常感谢您的帮助！

Answer 1

使用 Pulp 做到这一点可能并不容易。 它只接受线性模型，这本质上是非线性和非凸的。 使用非凸二次求解器，我们可以最大化

sum(i, (x[i]-μ)^2)

这给出了：

----     30 VARIABLE x.L  

i1 0.500,    i2 0.500,    i3 1.929


----     35 VARIABLE z.L                   =        1.361  obj
            VARIABLE mu.L                  =        0.976  mean
            PARAMETER stdev                =        0.825  standard deviation

可能的求解器包括 Cplex、Gurobi、Baron、Antigone。

可以用一些绝对值项代替平方偏差目标。 但这会很混乱，因为问题是非凸的。 这将需要一些额外的二进制变量。 类似于以下内容：

   max sum(i, splus[i] + smin[i])
       μ = sum(i, x[i])/n
       splus[i] - smin[i] = x(i)-μ
       splus[i] ≤ b[i]*M
       smin[i]  ≤ (1-b[i])*M 
       0.25*x[0] + 0.40*x[1] + 0.35*x[2] = 1
       smin[i],splus[i] ≥ 0
       b[i] ∈ {0,1}
       x[i] ∈ [0.5,2]
       M = 2-0.5

对于这个例子，我得到了相同的结果：

----     85 VARIABLE x.L  

i1 0.500,    i2 0.500,    i3 1.929


----     85 VARIABLE z.L                   =        1.905  obj
            VARIABLE mu.L                  =        0.976  mean
            PARAMETER stdev                =        0.825  standard deviation
     

（通常解决方案不会完全相同）。