当 n 非常大时，辛普森的复合规则给出了太大的值

Question

使用辛普森的复合规则计算1/ln(x)从2到1,000的积分，但是当使用较大的n （通常约为500,000 ）时，我开始得到与我的计算器和其他来源给我的值不同的结果（ 176.5644 ）。 例如，当n = 10,000,000时，它给我的值为184.1495 。 想知道为什么会这样，因为随着 n 变大，精度应该会增加而不是降低。

#include <iostream>
#include <cmath>

// the function f(x)
float f(float x)
{
    return (float) 1 / std::log(x);
}




float my_simpson(float a, float b, long int n)
{
  if (n % 2 == 1) n += 1; // since n has to be even
  float area, h = (b-a)/n;


  float x, y, z;
  for (int i = 1; i <= n/2; i++)
  {
    x = a + (2*i - 2)*h;
    y = a + (2*i - 1)*h;
    z = a + 2*i*h;
    area += f(x) + 4*f(y) + f(z);
  }

  return area*h/3;
}



int main()
{
    std::cout.precision(20);
    int upperBound = 1'000;
    int subsplits = 1'000'000;

    float approx = my_simpson(2, upperBound, subsplits);

    std::cout << "Output: " << approx << std::endl;

    return 0;
}

更新：从花车切换到双打，现在效果好多了！ 谢谢！

Answer 1

与实数（在数学意义上）不同， float的精度有限。

典型的 IEEE 754 32 位（单精度）浮点数二进制表示仅将 24 位（其中一位是隐含的）用于尾数，并且转换为大约少于 8 个十进制有效数字（请将此视为粗略）。

另一端的double具有 53 个有效位，使其更准确，并且（通常）是当今数值计算的首选。

因为随着 n 变大，精度应该增加而不是减少。

不幸的是，它不是这样工作的。 有一个汗点，但在那之后，舍入误差的积累盛行，结果与预期值背道而驰。

在 OP 的情况下，这个计算

area += f(x) + 4*f(y) + f(z);

由于area变得远大于f(x) + 4*f(y) + f(z) （例如 224678.937 与 0.3606823），引入（并累积）舍入误差。 n越大，相关性越早，从而使结果与真实结果不同。

如评论中所述，另一个问题（未定义的行为）是该area未初始化（为零）。