當 n 非常大時，辛普森的復合規則給出了太大的值

Question

使用辛普森的復合規則計算1/ln(x)從2到1,000的積分，但是當使用較大的n （通常約為500,000 ）時，我開始得到與我的計算器和其他來源給我的值不同的結果（ 176.5644 ）。 例如，當n = 10,000,000時，它給我的值為184.1495 。 想知道為什么會這樣，因為隨着 n 變大，精度應該會增加而不是降低。

#include <iostream>
#include <cmath>

// the function f(x)
float f(float x)
{
    return (float) 1 / std::log(x);
}




float my_simpson(float a, float b, long int n)
{
  if (n % 2 == 1) n += 1; // since n has to be even
  float area, h = (b-a)/n;


  float x, y, z;
  for (int i = 1; i <= n/2; i++)
  {
    x = a + (2*i - 2)*h;
    y = a + (2*i - 1)*h;
    z = a + 2*i*h;
    area += f(x) + 4*f(y) + f(z);
  }

  return area*h/3;
}



int main()
{
    std::cout.precision(20);
    int upperBound = 1'000;
    int subsplits = 1'000'000;

    float approx = my_simpson(2, upperBound, subsplits);

    std::cout << "Output: " << approx << std::endl;

    return 0;
}

更新：從花車切換到雙打，現在效果好多了！ 謝謝！

Answer 1

與實數（在數學意義上）不同， float的精度有限。

典型的 IEEE 754 32 位（單精度）浮點數二進制表示僅將 24 位（其中一位是隱含的）用於尾數，並且轉換為大約少於 8 個十進制有效數字（請將此視為粗略）。

另一端的double具有 53 個有效位，使其更准確，並且（通常）是當今數值計算的首選。

因為隨着 n 變大，精度應該增加而不是減少。

不幸的是，它不是這樣工作的。 有一個汗點，但在那之后，舍入誤差的積累盛行，結果與預期值背道而馳。

在 OP 的情況下，這個計算

area += f(x) + 4*f(y) + f(z);

由於area變得遠大於f(x) + 4*f(y) + f(z) （例如 224678.937 與 0.3606823），引入（並累積）舍入誤差。 n越大，相關性越早，從而使結果與真實結果不同。

如評論中所述，另一個問題（未定義的行為）是該area未初始化（為零）。