如果已知非常大整數 N 的因式分解，則快速計算浮點 1/N

Question

如果我有我知道因式分解的整數N ，那么將1/N計算為浮點數的最快（最有效）方法是什么？ 應該使用大的浮點（或整數）算術。

我想用 C++ 做這個（或者用 Python 做實驗）。

我的N非常大，大小為 Giga/Tera 位。 結果浮點N也應該具有很高的精度，大約與初始N相同的位大小。

需要精確的浮點值，這意味着如果我請求浮點精度Log2(N)位，那么至少所有95%的結果前導位都應該是精確的（與理想值中的所有位相同）。

當然，如果它有助於和/或簡化任務，則可以將4^Ceil(Log2(N)) / N為整數除法，而不是浮點計算。 對我來說，這兩個任務（整數和浮點數）本質上是相同的，因為整數表示可以轉換為浮點數，反之亦然。

一個重要的注意事項是N因式分解只有很小的質因數，它們的大小都是 32 位（當然最多可能是 64 位）。

我想知道是否有N因式分解以及因數很小的事實，它能否以某種方式幫助解決任務？

當然，我沒有首先實現我自己的部門，而是嘗試使用高度優化的GMP庫來完成這項任務，但它（據我所知）並沒有使用N已經被分解的事實。

任何人都可以建議我是否要為此實現自己的功能，只是為了通過實驗確定它是否會比 GMP 更快，那么我應該使用哪種算法？

我發現這里可以使用 3 種算法 1) Long Division ，這是一種學校級算法。 2）巴雷特減少。 3)蒙哥馬利歸約。

其實我不知道任何其他算法。 你能推薦其他的嗎？ Barrett 和 Montgomery 歸約只有在相同的素因數重復多次時才有幫助，否則單次除法不值得 Barrett 和 Montgomery 所需的預先計算。

此外，巴雷特/蒙哥馬利的減少仍然需要一次性計算4^Ceil(Log2(N)) / PrimeDivisor 。 所以他們不會讓你免於做長除法算法。

對於長除法算法，我肯定會使用2^64作為基數而不是基數10 （如在學校中）。

我已經使用 Long Division 和所有其他整數算法以及橢圓曲線算法實現了我自己的實驗庫。 現在它是通用的，因此不比 GMP 快。 現在我需要特殊的除法算法，它至少比 GMP 快幾倍。

當然，在長除法中我可以使用蒙哥馬利和巴雷特，因為在每一步它都需要短除法（128 位整數除以 64 位整數），如果它有任何提升。

同樣在長除法的每個步驟中，我都可以使用快速傅立葉變換或數論變換進行乘法運算。

以上是我所知道的唯一優化。 還有其他可能的優化嗎？ 也許FFT可以用於直接做除法（不僅僅是乘法）？

Answer 1

大概的概念

N可以分解為小整數的事實會有所幫助。 實際上，這意味着N = a1 * a2 * ... * an 。 因此， 1/N = 1/(a1 * a2 * ... * an) = (1/a1) * (1/a2) * ... * (1/an) 。

問題是計算1/a的許多因素a可能比計算1/N快。 的確：

• 1 / a的十進制/二進制展開的周期應該遠小於1 / N因為log2(a)遠小於log2(N)這意味着1/a的精確表示可以以非常緊湊的方式存儲並且很快；
• 因子的倒數可以獨立計算，因此可以並行計算；
• 當一個因子在 N 的因式分解中多次使用時，其代價高昂的倒數只能計算一次；
• 乘數應該比計算倒數或除法快得多。
• 最終的基於乘法的歸約可以使用成對歸約策略並行完成。

然而，有一個問題：這種方法需要很多乘法，因為有很多因子，雖然它們大部分可以並行計算，但這仍然是一個相當昂貴的計算（特別是最后一個乘法很難執行）平行線）。 因此，我不確定該方法是否比在 GMP 中實施的非常優化的方法快得多，但它確實值得一試。

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筆記

將相同大小的數字相乘或什至將具有最小十進制/二進制擴展周期的第一個數字相乘可能更好（以最小化計算倒數的符號表示的大小，從而導致更小的內存占用和更快的速度）乘法）。

大約有 2 億個素數適合 32 位，但N大多數因子應該適合 16 位（因為較小的因子更頻繁）​​並且只有大約 6500 個素數適合 16 位，所以如果您計划計算不同N多個倒數，則可以預先計算它們的倒數。

當e很大時，您可以使用平方算法的冪運算來有效地計算p^e的倒數。 當N很大時，這樣的項經常以N的素數分解的指數形式出現。

如果十進制/二進制擴展的周期大於最終浮點數，您可以截斷它。 不過，這可能會影響該方法的准確性。 我認為至少需要一些額外的數字才能獲得准確的結果（特別是由於應用了許多乘法）。

對於涉及巨大符號表示的最后乘法，您可以生成大浮點數並將它們提供給 GMP，以便它可以使用非常優化的實現（通常基於快速傅立葉變換）。

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例子

為了清楚起見，這是一個小N = 307230的示例，使用十進制表示（十進制擴展的周期帶有下划線）：

1/307230 = 0.0000032548904729355857175406047586498714318263190443641571461120333300784428603977476157927285746834619015070142889691761872213
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307230 = 2 * 3 * 5 * (7^2) * 11 * 19

1/2 = 0.50
         -
1/3 = 0.3
        -
1/5 = 0.20
         -
1/7 = 0.14285714
          ------
1/11 = 0.090
          --
1/19 = 0.0526315789473684210
          ------------------

k1 = ((1/2) * (1/3)) * ((1/5) * (1/11)) = 0.0030
                                          --

k2 = k1 * (1/19) = 0.000159489633173843700
                        ------------------

k3 = (1/7)^2 = 0.0204081632653061224489795918367346938775510
                  ------------------------------------------

1/N = k2 * k3

對於最終的乘法，您可以使用精確算法或 GMP 的快速近似。