手动从具有伽马分布的 GLM 和具有逆高斯分布的 GLM 获取响应

Question

我一直在尝试从 R 中的统计 package 中手动获取 predict.glm function 给出的响应值。 但是，我无法这样做。 我只知道如何使用二项分布手动获取值。 我真的很感激一些帮助。 我创建了两个小模型（一个带有 Gamma 族，一个带有逆高斯族）。

library(stats)
library(dplyr)

data("USArrests")

#Gamma distribution model
model_gam <- glm(Rape~Murder + Assault + UrbanPop, data=USArrests, family=Gamma)

print(summary(model_gam))
responses_gam <- model_gam %>% predict(USArrests[1,], type="response")
print(responses_gam)

#Trying to manually get responses for gamma model
paste(coef(model_gam), names(coef(model_gam)), sep="*", collapse="+")
# "0.108221470842499*(Intercept)+-0.00122165587689519*Murder+-9.47425665022909e-05*Assault+-0.000467789606041651*UrbanPop"
print(USArrests[1,])
#Murder: 13.2, Assault: 236, UrbanPop: 58
x = 0.108221470842499 - 0.00122165587689519 * 13.2 - 9.47425665022909e-05 * 236 - 0.000467789606041651 * 58
# This is wrong. Do I have to include the dispersion? (which is 0.10609)
print (exp(x)/(1+exp(x)))
# result should be (from predict function): 26.02872 
# exp(x)/(1+exp(x)) gives: 0.510649


# Gaussian distribution model

model_gaus <- glm(Rape~Murder + Assault + UrbanPop, data=USArrests, family=inverse.gaussian(link="log"))

responses_gaus <- model_gaus %>% predict(USArrests[1,], type="response")
print(summary(model_gaus))
print(responses_gaus)

#Trying to manually get responses for gaussian model
paste(coef(model_gaus), names(coef(model_gaus)), sep="*", collapse="+")
# "0.108221470842499*(Intercept)+-0.00122165587689519*Murder+-9.47425665022909e-05*Assault+-0.000467789606041651*UrbanPop"
x =  1.70049202188329-0.0326196928618521* 13.2 -0.00234379099421488*236-0.00991369000675323*58
# Dispersion in this case is 0.004390825
print(exp(x)/(1+exp(x)))
# result should be (from predict function): 26.02872 
# exp(x)/(1+exp(x)) it is: 0.5353866

Answer 1

内置predict()

predict(model_gaus)["Alabama"] ## 3.259201

用手

cat(paste(round(coef(model_gaus),5), names(coef(model_gaus)), sep="*", collapse="+"),"\n")
## 1.70049*(Intercept)+0.03262*Murder+0.00234*Assault+0.00991*UrbanPop
USArrests["Albama",]
##         Murder Assault UrbanPop Rape
## Alabama   13.2     236       58 21.2

截距的值总是 1，所以我们有

1.70049*1+0.03262*13.2+0.00234*236+0.00991*58 
## [1] 3.258094

（足够接近，因为我四舍五入了一些东西）

您不需要对色散或反向链接 function 做任何事情，因为高斯 model 使用身份链接。

使用 model 矩阵

在数学上，回归方程定义为X %*% beta ，其中beta是系数向量， X是model 矩阵（例如，它是截距加预测变量的一列；对于具有分类预测变量或更多的模型样条曲线等复杂术语，它有点复杂）。 您可以使用model.matrix()从矩阵中提取 model 矩阵：

Xg <- model.matrix(model_gaus)
drop(Xg["Alabama",] %*% coef(model_gaus))

对于 Gamma model，您将使用完全相同的过程，但最后您将计算的线性表达式（线性预测器）转换1/x （Gamma 的反向链接function）。 如果您使用日志链接，您将取幂。 更普遍，

invlinkfun <- family(fitted_model)$linkinv
X <- model.matrix(fitted_model)
beta <- coef(fitted_model)
invlinkfun(X %*% beta)

逆高斯 model 默认使用1/mu^2链接； inverse.gaussian()$linkinv是function(eta) { 1/sqrt(eta) }