如何数值求解延迟微分方程

Question

我想用数字计算Buchstab function 。 它由延迟微分方程定义：

我怎样才能有效地计算这个数值？

Answer 1

为了大致了解 DDE 集成的工作原理，我将提供一些基于低阶 Heun 方法的代码（以避免无趣的细节，同时仍然有点用处）。

在数值积分中，先前的值被视为 function 的时间，就像任何其他时间相关项一样。 由于没有真正的函数表达式，目前的解决方案将用作 function 表进行插值。 插值误差阶数应与 ODE 积分器的误差阶数一样高，这对于低阶方法很容易安排，但对于高阶方法则需要额外的努力。 solve_ivp步进器类每步提供这样一个“密集输出”插值，可以针对当前存在的积分区间组装成 function。

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所以在理论之后实践。 Select 步长h=0.05 ，将给定的历史记录 function 转换为解决方案的开始 function 表

u=1
u_arr = []
w_arr = []
while u<2+0.5*h:
    u_arr.append(u)
    w_arr.append(1/u)
    u += h

然后求解方程，对于延迟值使用 function 表中的插值，这里使用numpy.interp 。 `scipy.interpolate 中还有其他具有更多选项的函数。

请注意， h需要小于最小延迟，以便延迟值来自上一步。 这里就是这种情况。

u = u_arr[-1]
w = w_arr[-1]
while u < 4:
    k1 = (-w + np.interp(u-1,u_arr,w_arr))/u
    us, ws = u+h, w+h*k1
    k2 = (-ws + np.interp(us-1,u_arr,w_arr))/us
    u,w = us, w+0.5*h*(k1+k2)
    u_arr.append(us)
    w_arr.append(ws)

现在可以进一步处理数值近似，例如绘制。

plt.plot(u_arr,w_arr); plt.grid(); plt.show()