我们能保证严格递减函数是可计算的吗？

Question

我被指派解决以下问题的练习：

• 假设函数 f: N->N 严格递减。 我们能保证 f 是可计算的吗？

到目前为止，我发现所有非递增函数都是可计算的，但这根本不是一个有效的论点。 我现在已经苦苦挣扎了好几个小时，但仍然不知道如何证明我们是否可以确定它是否可计算。

关于哪个可能是答案的任何想法？ 或者我应该考虑哪些元素来构建它？

非常感谢你！

Answer 1

集合 N = {1, 2, 3, ...,}，或者 N = {0, 1, 2, 3, ...}，仅在一个方向上是无限的； 它有一个最小的元素。 如果 f 是严格递减函数，则只要 a < b，f(a) > f(b)。 但是有一个问题：给定这些定义，不可能有从自然数到自然数的严格递减函数。 假设我使 f(0) = k。 对于 f(k+1) 我有什么选择？ 对于 f(1) 到 f(k)，我必须已经选择了 k 个小于 k 的值，但是只有 k 个值小于 k，而且我不能多次选择一个，因为函数必须严格递减。

从这个意义上说，假设我们有一个函数 f：N->N 是严格递减的，我们可以得出任何结论，比如 1 = 2，月亮是奶酪做的，所有的猫都是狗，等等。从矛盾出发，所有事情都遵循，并且不可能存在从所有自然数到所有自然数的严格递减函数。 这就像说，“1 = 2，然后 2 = 3”。 这是一个逻辑上正确的陈述，因为假设是错误的。