我們能保證嚴格遞減函數是可計算的嗎？

Question

我被指派解決以下問題的練習：

• 假設函數 f: N->N 嚴格遞減。 我們能保證 f 是可計算的嗎？

到目前為止，我發現所有非遞增函數都是可計算的，但這根本不是一個有效的論點。 我現在已經苦苦掙扎了好幾個小時，但仍然不知道如何證明我們是否可以確定它是否可計算。

關於哪個可能是答案的任何想法？ 或者我應該考慮哪些元素來構建它？

非常感謝你！

Answer 1

集合 N = {1, 2, 3, ...,}，或者 N = {0, 1, 2, 3, ...}，僅在一個方向上是無限的； 它有一個最小的元素。 如果 f 是嚴格遞減函數，則只要 a < b，f(a) > f(b)。 但是有一個問題：給定這些定義，不可能有從自然數到自然數的嚴格遞減函數。 假設我使 f(0) = k。 對於 f(k+1) 我有什么選擇？ 對於 f(1) 到 f(k)，我必須已經選擇了 k 個小於 k 的值，但是只有 k 個值小於 k，而且我不能多次選擇一個，因為函數必須嚴格遞減。

從這個意義上說，假設我們有一個函數 f：N->N 是嚴格遞減的，我們可以得出任何結論，比如 1 = 2，月亮是奶酪做的，所有的貓都是狗，等等。從矛盾出發，所有事情都遵循，並且不可能存在從所有自然數到所有自然數的嚴格遞減函數。 這就像說，“1 = 2，然后 2 = 3”。 這是一個邏輯上正確的陳述，因為假設是錯誤的。