给定一些优化约束，如何从边际分布中填充列联表？

Question

我需要在给定边际分布的情况下找到列联表的单元格。

2574	2572	3393	3768	3822	b	电子
x₁₁	x₁₂	x₁₃	x₁₄	x₁₅	187	23846753.74
x₂₁	x22	x23	x24	x₅	3个	324024.64
x₃₁	x₃₂	x₃₃	x₃₄	x₃₅	13755	1489591510.50
x₄₁	x₄₂	x₄₃	x₄₄	x₄₅	543	76173239.22
x₅₁	x₅₂	x₅₃	x₅₄	x₅₅	68	8188751.57
x₆₁	x₆₂	x₆₃	x₆₄	x₆₅	1332	172945247.86
x₇₁	x₇₂	x₇₃	x₇₄	x₇₅	361	41675606.70

xᵢⱼ 是我想要找到的非负整数。 列总和是准确的。 行总和 ( b ) 是近似值。

还有其他约束来指导 xᵢⱼ 的分布：

给定常数因子F = (13336.41847153, 102412.73466321, 41811.01724119, 78689.83110577, 282353.66682778) ^T和预期结果e那么X·F ≈ e

如果我想最小化近似等式的偏差，这是一个混合整数二次规划问题吗？

• b是列总和
• A是 1 的向量，因此每一列都会相加
• d是行总和
• C是 1 的向量，这样每一行都会被加起来
• e是预期加权和的向量
• F是权重的常数向量

优化问题可以表示为

• 分钟 (‖ X C – d ‖² + ‖ XF – e ‖²)
• 使得A X = b
• x≥0
• x ∈ ℕ

我尝试使用cvxpy解决此问题：

import cvxpy as cp
import numpy as np

F = np.array([13336.41847153, 102412.73466321, 41811.01724119, 78689.83110577, 282353.66682778])
e = [23846753.74, 324024.64, 1489591510.50, 76173239.22, 8188751.57, 172945247.86, 41675606.70]
d = [187., 3., 13755., 543., 68., 1332., 361.]
C = np.ones(len(F))
b = np.array([2574, 2572, 3393, 3768, 3822])
A = np.ones(len(d))

x = cp.Variable((len(e), len(b)), integer=True)
cost = cp.sum_squares(x @ C - d) + cp.sum_squares(x @ F - e)
objective = cp.Minimize(cost)
constraint_gt0 = x >= 0
constraint_eq = A @ x == b
    
problem = cp.Problem(objective, [constraint_gt0, constraint_eq])
solution = problem.solve()

但这会导致错误消息：

候选圆锥求解器 (['GLPK_MI', 'SCIPY']) 不支持问题 (SOC, NonNeg, Zero) 的圆锥 output，或者问题中没有足够的约束。

如果我删除integer=True约束，该方法将无错误地完成，但没有找到解决方案。

有很多这样的表要解决，它们都是相互独立的。 所以我需要一个代码解决方案，而不是特定给定示例的x集。

我的问题：

这是一个结构良好且可解决的问题吗？

它是否像错误消息所暗示的那样约束不足？

为什么它会导致错误消息中提到的二阶锥 (SOC)？ 这听起来不必要地复杂。 我认为这是一个“带有一些额外约束的最小二乘问题”。

我如何解决 cvxpy 或其他一些 Python package 的问题？

如果近似的非整数解决方案更可行，我将如何实现？

Answer 1

感谢@ErwinKalvelagen 和@MichalAdamaszek 的提示：答案是 CPLEX。 您需要一个能够解决这 class 个问题的求解器。 请参阅 cvxpy 文档中的选择求解器。

作为替代方案，如果您不想使用 CPLEX，通过将成本cp.norm中的cp.sum_squares替换为 cp.norm 并移除integer=True约束，集成求解器也能够找到浮点解。