C：数值接收（FFT）

Question

这个问题针对的是Numerical Recipes的任何粉丝或任何了解FFT的人。

任何人都可以解释为什么真实分量是由-2 *（sin（theta / 2））^ 2计算的？ 我似乎无法绕过它。 我已经看过其他的例子，例如http://www.dspdimension.com/admin/dft-a-pied/ tutorial，它简单地将cos（theta）视为真实，将-sin（theta）视为虚构。 我在这里也看到了基本的http://www.dspguide.com/ch12/3.htm ，它将cos（theta）列为real，-sin（theta）列为imaginary。 我可以想到一些简单地将cos和-sin视为真实和想象的资源。

cos(theta) = 1-2*(sin(theta/2))^2

如果上面的trig标识是真的那么为什么不这样呢？

theta=isign*(6.28318530717959/mmax);
wtemp=sin(0.5*theta);
wpr = -2.0*wtemp*wtemp;
wpi=sin(theta);

我假设Numerical Recipe必须使用一些trig身份？ 我似乎无法弄明白，这本书根本没有解释。

代码见： http ： //ronispc.chem.mcgill.ca/ronis/chem593/sinfft.c.html

#define SWAP(a,b) tempr=(a);(a)=(b);(b)=tempr

void four1(double *data,unsigned long nn,int isign)
{
        unsigned long n,mmax,m,j,istep,i;
        double wtemp,wr,wpr,wpi,wi,theta;
        double tempr,tempi;

        n=nn << 1;
        j=1;
        for (i=1;i<n;i+=2) {
                if (j > i) {
                        SWAP(data[j],data[i]);
                        SWAP(data[j+1],data[i+1]);
                }
                m=n >> 1;
                while (m >= 2 && j > m) {
                        j -= m;
                        m >>= 1;
                }
                j += m;
        }
        mmax=2;
        while (n > mmax) {
                istep=mmax << 1;
                theta=isign*(6.28318530717959/mmax);
                wtemp=sin(0.5*theta);
                wpr = -2.0*wtemp*wtemp;
                wpi=sin(theta);
                wr=1.0;
                wi=0.0;
                for (m=1;m<mmax;m+=2) {
                        for (i=m;i<=n;i+=istep) {
                                j=i+mmax;
                                tempr=wr*data[j]-wi*data[j+1];
                                tempi=wr*data[j+1]+wi*data[j];
                                data[j]=data[i]-tempr;
                                data[j+1]=data[i+1]-tempi;
                                data[i] += tempr;
                                data[i+1] += tempi;
                        }
                        wr=(wtemp=wr)*wpr-wi*wpi+wr;
                        wi=wi*wpr+wtemp*wpi+wi;
                }
                mmax=istep;
        }
}
#undef SWAP

Answer 1

从...开始：

• cos（A + B）= cos（A）cos（B） - sin（A）sin（B）
• sin（A + B）= sin（A）cos（B）+ cos（A）sin（B）
• cos（2A）= 1 - 2 sin ² （A）
• ^eiθ = cos（θ）+ i sin（θ）

所以：

e ^i（φ+δ）

= cos（φ+δ）+ i sin（φ+δ）

= cos（φ）cos（δ） - sin（φ）sin（δ）+ i [sin（φ）cos（δ）+ cos（φ）sin（δ）]

= cos（φ）[1 - 2 sin ² （δ/ 2）] + i sin（φ）[1 - 2 sin ² （δ/ 2）] + i sin（δ）[i * sin（φ）+ cos （φ）]

= [cos（φ）+ i sin（φ）] [1 - 2 sin ² （δ/ 2）] + [cos（φ）+ i sin（φ）] i sin（δ）

= ^eiφ + ^eiφ [ - 2 sin ² （δ/ 2）+ i sin（δ）]

编辑 ：这对我来说是很多无用的格式。 它实际上更简单：

对于任何y y ^{（a + b）} = y ^a ×y ^b 。 所以：

e ^i（φ+δ）

= E ^{IφE Iδ}

= ^eiφ [cos（δ）+ i sin（δ）]

= ^eiφ [1 - 2 sin ² （δ/ 2）+ i sin（δ）]

Answer 2

余弦的半角恒等式的一种形式是：

cos(theta) = 1 - 2*(sin(theta/2)^2)

不确定是否能回答你的问题。

Answer 3

原因在于数值精度。 如果仔细检查以下代码：

wtemp=sin(0.5*theta);
wpr = -2.0*wtemp*wtemp;
wpi=sin(theta);

和

wr=(wtemp=wr)*wpr-wi*wpi+wr;
wi=wi*wpr+wtemp*wpi+wi;

它们旨在协同工作以产生正确的预期结果。 一种天真的方法将实施如下：

wpr = cos(theta);
wpi = sin(theta);

和

wtemp = wr;
wr =wr*wpr - wi*wpi;
wi =wi*wpr + wtemp*wpi;

并且具有无限精度将在功能上等效。

然而，当theta接近于零（即大量采样点或大nn ）时， cos(theta)成为问题，因为对于小角度， cos(theta)接近1并且具有接近0的斜率。并且在某个角度cos(theta) == 1 。 我的实验表明浮动cos(2*PI/N) == 1 ，对于浮点数（即32位精度）， N >= 25736 。 可以想象25,736点FFT。 因此，为了避免这个问题，使用三角法的半角公式将wpr计算为cos(theta)-1 。 它用sin计算，对于小角度非常精确，因此对于小角度， wpr和wpi都很小且精确。 然后在更新代码中通过在复数乘法后重新添加1来撤消。 用数学表达式，我们得到：

w_p = cos(theta) - 1    + i*sin(theta) 
    = -2*sin^2(theta/2) + i*sin(theta)

并且更新规则是：

w = w * (w_p + 1) 
  = w + w*w_p

Answer 4

令人困惑的是，NR使用FFT的数学/物理版本，它旋转旋转因子的方式与EE定义FFT的方式相反。 所以NR前锋是EE逆，反之亦然。 请注意，在NR中，forward具有正指数而不是EE负指数。 EE方法将时间转换为数学和物理版本以角动量播放的频率。

Answer 5

我不知道FFT我已经完成了一次，但已经很长时间了。

所以我在http://www.sosmath.com/trig/Trig5/trig5/trig5.html查看了trig身份

从我们所拥有的罪（你）*罪（v）的第一个“产品 - 总和”身份

sin ^ 2（theta / 2）=（1/2）[cos（零） - cos（theta）] = 0.5 - 0.5 cos（theta）

这有帮助吗？

Answer 6

他们使用trig标识来最小化他们需要计算的循环函数的数量。 许多快速实现只是查找这些功能。 如果你真的想知道你需要通过展开上面的循环并进行适当的变量替换来计算细节....单调是的。

顺便说一句，已知NR实现非常慢。

保罗

Answer 7

好的，这里是trig标识。 它不是半cos（theta）trig标识的原因是因为依赖于欧拉和虚数。 数学仍然超出我的意义......

_{（来源： librow.com ）}