C：數值接收（FFT）

Question

這個問題針對的是Numerical Recipes的任何粉絲或任何了解FFT的人。

任何人都可以解釋為什么真實分量是由-2 *（sin（theta / 2））^ 2計算的？ 我似乎無法繞過它。 我已經看過其他的例子，例如http://www.dspdimension.com/admin/dft-a-pied/ tutorial，它簡單地將cos（theta）視為真實，將-sin（theta）視為虛構。 我在這里也看到了基本的http://www.dspguide.com/ch12/3.htm ，它將cos（theta）列為real，-sin（theta）列為imaginary。 我可以想到一些簡單地將cos和-sin視為真實和想象的資源。

cos(theta) = 1-2*(sin(theta/2))^2

如果上面的trig標識是真的那么為什么不這樣呢？

theta=isign*(6.28318530717959/mmax);
wtemp=sin(0.5*theta);
wpr = -2.0*wtemp*wtemp;
wpi=sin(theta);

我假設Numerical Recipe必須使用一些trig身份？ 我似乎無法弄明白，這本書根本沒有解釋。

代碼見： http ： //ronispc.chem.mcgill.ca/ronis/chem593/sinfft.c.html

#define SWAP(a,b) tempr=(a);(a)=(b);(b)=tempr

void four1(double *data,unsigned long nn,int isign)
{
        unsigned long n,mmax,m,j,istep,i;
        double wtemp,wr,wpr,wpi,wi,theta;
        double tempr,tempi;

        n=nn << 1;
        j=1;
        for (i=1;i<n;i+=2) {
                if (j > i) {
                        SWAP(data[j],data[i]);
                        SWAP(data[j+1],data[i+1]);
                }
                m=n >> 1;
                while (m >= 2 && j > m) {
                        j -= m;
                        m >>= 1;
                }
                j += m;
        }
        mmax=2;
        while (n > mmax) {
                istep=mmax << 1;
                theta=isign*(6.28318530717959/mmax);
                wtemp=sin(0.5*theta);
                wpr = -2.0*wtemp*wtemp;
                wpi=sin(theta);
                wr=1.0;
                wi=0.0;
                for (m=1;m<mmax;m+=2) {
                        for (i=m;i<=n;i+=istep) {
                                j=i+mmax;
                                tempr=wr*data[j]-wi*data[j+1];
                                tempi=wr*data[j+1]+wi*data[j];
                                data[j]=data[i]-tempr;
                                data[j+1]=data[i+1]-tempi;
                                data[i] += tempr;
                                data[i+1] += tempi;
                        }
                        wr=(wtemp=wr)*wpr-wi*wpi+wr;
                        wi=wi*wpr+wtemp*wpi+wi;
                }
                mmax=istep;
        }
}
#undef SWAP

Answer 1

從...開始：

• cos（A + B）= cos（A）cos（B） - sin（A）sin（B）
• sin（A + B）= sin（A）cos（B）+ cos（A）sin（B）
• cos（2A）= 1 - 2 sin ² （A）
• ^eiθ = cos（θ）+ i sin（θ）

所以：

e ^i（φ+δ）

= cos（φ+δ）+ i sin（φ+δ）

= cos（φ）cos（δ） - sin（φ）sin（δ）+ i [sin（φ）cos（δ）+ cos（φ）sin（δ）]

= cos（φ）[1 - 2 sin ² （δ/ 2）] + i sin（φ）[1 - 2 sin ² （δ/ 2）] + i sin（δ）[i * sin（φ）+ cos （φ）]

= [cos（φ）+ i sin（φ）] [1 - 2 sin ² （δ/ 2）] + [cos（φ）+ i sin（φ）] i sin（δ）

= ^eiφ + ^eiφ [ - 2 sin ² （δ/ 2）+ i sin（δ）]

編輯 ：這對我來說是很多無用的格式。 它實際上更簡單：

對於任何y y ^{（a + b）} = y ^a ×y ^b 。 所以：

e ^i（φ+δ）

= E ^{IφE Iδ}

= ^eiφ [cos（δ）+ i sin（δ）]

= ^eiφ [1 - 2 sin ² （δ/ 2）+ i sin（δ）]

Answer 2

余弦的半角恆等式的一種形式是：

cos(theta) = 1 - 2*(sin(theta/2)^2)

不確定是否能回答你的問題。

Answer 3

原因在於數值精度。 如果仔細檢查以下代碼：

wtemp=sin(0.5*theta);
wpr = -2.0*wtemp*wtemp;
wpi=sin(theta);

和

wr=(wtemp=wr)*wpr-wi*wpi+wr;
wi=wi*wpr+wtemp*wpi+wi;

它們旨在協同工作以產生正確的預期結果。 一種天真的方法將實施如下：

wpr = cos(theta);
wpi = sin(theta);

和

wtemp = wr;
wr =wr*wpr - wi*wpi;
wi =wi*wpr + wtemp*wpi;

並且具有無限精度將在功能上等效。

然而，當theta接近於零（即大量采樣點或大nn ）時， cos(theta)成為問題，因為對於小角度， cos(theta)接近1並且具有接近0的斜率。並且在某個角度cos(theta) == 1 。 我的實驗表明浮動cos(2*PI/N) == 1 ，對於浮點數（即32位精度）， N >= 25736 。 可以想象25,736點FFT。 因此，為了避免這個問題，使用三角法的半角公式將wpr計算為cos(theta)-1 。 它用sin計算，對於小角度非常精確，因此對於小角度， wpr和wpi都很小且精確。 然后在更新代碼中通過在復數乘法后重新添加1來撤消。 用數學表達式，我們得到：

w_p = cos(theta) - 1    + i*sin(theta) 
    = -2*sin^2(theta/2) + i*sin(theta)

並且更新規則是：

w = w * (w_p + 1) 
  = w + w*w_p

Answer 4

令人困惑的是，NR使用FFT的數學/物理版本，它旋轉旋轉因子的方式與EE定義FFT的方式相反。 所以NR前鋒是EE逆，反之亦然。 請注意，在NR中，forward具有正指數而不是EE負指數。 EE方法將時間轉換為數學和物理版本以角動量播放的頻率。

Answer 5

我不知道FFT我已經完成了一次，但已經很長時間了。

所以我在http://www.sosmath.com/trig/Trig5/trig5/trig5.html查看了trig身份

從我們所擁有的罪（你）*罪（v）的第一個“產品 - 總和”身份

sin ^ 2（theta / 2）=（1/2）[cos（零） - cos（theta）] = 0.5 - 0.5 cos（theta）

這有幫助嗎？

Answer 6

他們使用trig標識來最小化他們需要計算的循環函數的數量。 許多快速實現只是查找這些功能。 如果你真的想知道你需要通過展開上面的循環並進行適當的變量替換來計算細節....單調是的。

順便說一句，已知NR實現非常慢。

保羅

Answer 7

好的，這里是trig標識。 它不是半cos（theta）trig標識的原因是因為依賴於歐拉和虛數。 數學仍然超出我的意義......

_{（來源： librow.com ）}