如何使用python计算地球表面多边形的面积？

Question

标题基本上说明了一切。 我需要使用 Python 计算地球表面多边形内的面积。 计算地球表面上任意多边形所包围的区域说明了这一点，但在技术细节上仍然含糊不清：

如果您想以更“GIS”的风格执行此操作，那么您需要为您的区域选择一个测量单位并找到一个合适的投影来保留区域（并非所有人都这样做）。 由于您正在谈论计算任意多边形，因此我会使用 Lambert Azimuthal Equal Area projection 之类的东西。 将投影的原点/中心设置为多边形的中心，将多边形投影到新的坐标系，然后使用标准平面技术计算面积。

那么，我如何在 Python 中做到这一点？

Answer 1

假设您有一个以 GeoJSON 格式表示的科罗拉多州

{"type": "Polygon", 
 "coordinates": [[
   [-102.05, 41.0], 
   [-102.05, 37.0], 
   [-109.05, 37.0], 
   [-109.05, 41.0]
 ]]}

所有坐标都是经度，纬度。 您可以使用pyproj来投影坐标，并使用Shapely来查找任何投影多边形的面积：

co = {"type": "Polygon", "coordinates": [
    [(-102.05, 41.0),
     (-102.05, 37.0),
     (-109.05, 37.0),
     (-109.05, 41.0)]]}
lon, lat = zip(*co['coordinates'][0])
from pyproj import Proj
pa = Proj("+proj=aea +lat_1=37.0 +lat_2=41.0 +lat_0=39.0 +lon_0=-106.55")

这是一个以感兴趣区域为中心并包围感兴趣区域的等面积投影。 现在制作新的投影 GeoJSON 表示，变成一个 Shapely 几何对象，并获取该区域：

x, y = pa(lon, lat)
cop = {"type": "Polygon", "coordinates": [zip(x, y)]}
from shapely.geometry import shape
shape(cop).area  # 268952044107.43506

这是一个非常接近被调查区域的近似值。 对于更复杂的特征，您需要沿顶点之间的边缘进行采样，以获得准确的值。 以上关于日期变更线等的所有警告均适用。 如果您只对区域感兴趣，则可以在投影之前将您的要素从日期线转换出来。

Answer 2

最简单的方法（在我看来）是将事物投影到（一个非常简单的）等面积投影中，并使用一种常用的平面技术来计算面积。

首先，如果您要问这个问题，我将假设球形地球足够接近您的目的。 如果不是，那么您需要使用适当的椭球重新投影数据，在这种情况下，您将需要使用实际的投影库（现在一切都在幕后使用 proj4），例如与GDAL/OGR的 python 绑定或（更友好的） pyproj 。

但是，如果您对球形地球没问题，那么无需任何专门的库就可以很容易地做到这一点。

要计算的最简单的等面积投影是正弦投影。 基本上，您只需将纬度乘以一个纬度的长度，将经度乘以一个纬度的长度和纬度的余弦。

def reproject(latitude, longitude):
    """Returns the x & y coordinates in meters using a sinusoidal projection"""
    from math import pi, cos, radians
    earth_radius = 6371009 # in meters
    lat_dist = pi * earth_radius / 180.0

    y = [lat * lat_dist for lat in latitude]
    x = [long * lat_dist * cos(radians(lat)) 
                for lat, long in zip(latitude, longitude)]
    return x, y

好的...现在我们要做的就是计算平面中任意多边形的面积。

有很多方法可以做到这一点。 我将在这里使用可能是最常见的一种。

def area_of_polygon(x, y):
    """Calculates the area of an arbitrary polygon given its verticies"""
    area = 0.0
    for i in range(-1, len(x)-1):
        area += x[i] * (y[i+1] - y[i-1])
    return abs(area) / 2.0

无论如何，希望这将为您指明正确的方向...

Answer 3

也许有点晚了，但这里有一种不同的方法，使用 Girard 定理。 它指出，大圆多边形的面积是 R**2 乘以多边形之间的角度之和减去 (N-2)*pi，其中 N 是角的数量。

我认为这值得发布，因为它不依赖于 numpy 以外的任何其他库，而且它是一种与其他方法完全不同的方法。 当然，这仅适用于球体，因此将其应用于地球时会存在一些不准确性。

首先，我定义了一个函数来计算从点 1 沿大圆到点 2 的方位角：

import numpy as np
from numpy import cos, sin, arctan2

d2r = np.pi/180

def greatCircleBearing(lon1, lat1, lon2, lat2):
    dLong = lon1 - lon2

    s = cos(d2r*lat2)*sin(d2r*dLong)
    c = cos(d2r*lat1)*sin(d2r*lat2) - sin(lat1*d2r)*cos(d2r*lat2)*cos(d2r*dLong)

    return np.arctan2(s, c)

现在我可以用它来找到角度，然后是面积（在下面，当然应该指定 lons 和 lats，并且它们应该按照正确的顺序。另外，应该指定球体的半径。）

N = len(lons)

angles = np.empty(N)
for i in range(N):

    phiB1, phiA, phiB2 = np.roll(lats, i)[:3]
    LB1, LA, LB2 = np.roll(lons, i)[:3]

    # calculate angle with north (eastward)
    beta1 = greatCircleBearing(LA, phiA, LB1, phiB1)
    beta2 = greatCircleBearing(LA, phiA, LB2, phiB2)

    # calculate angle between the polygons and add to angle array
    angles[i] = np.arccos(cos(-beta1)*cos(-beta2) + sin(-beta1)*sin(-beta2))

area = (sum(angles) - (N-2)*np.pi)*R**2

在另一个答复中给出科罗拉多坐标，地球半径为 6371 公里，我知道该区域是 268930758560.74808

Answer 4

或者干脆使用一个库： https ://github.com/scisco/area

from area import area
>>> obj = {'type':'Polygon','coordinates':[[[-180,-90],[-180,90],[180,90],[180,-90],[-180,-90]]]}
>>> area(obj)
511207893395811.06

...以平方米为单位返回面积。

Answer 5

这是一个使用basemap代替pyproj和shapely进行坐标转换的解决方案。 不过，这个想法与@sgillies 建议的想法相同。 请注意，我添加了第 5 个点，以便路径是一个闭环。

import numpy
from mpl_toolkits.basemap import Basemap

coordinates=numpy.array([
[-102.05, 41.0], 
[-102.05, 37.0], 
[-109.05, 37.0], 
[-109.05, 41.0],
[-102.05, 41.0]])

lats=coordinates[:,1]
lons=coordinates[:,0]

lat1=numpy.min(lats)
lat2=numpy.max(lats)
lon1=numpy.min(lons)
lon2=numpy.max(lons)

bmap=Basemap(projection='cea',llcrnrlat=lat1,llcrnrlon=lon1,urcrnrlat=lat2,urcrnrlon=lon2)
xs,ys=bmap(lons,lats)

area=numpy.abs(0.5*numpy.sum(ys[:-1]*numpy.diff(xs)-xs[:-1]*numpy.diff(ys)))
area=area/1e6

print area

结果是 268993.609651（以 km^2 为单位）。

更新：底图已被弃用，因此您可能需要首先考虑替代解决方案。

Answer 6

您可以直接在球体上计算面积，而不是使用等面积投影。

此外，根据这个讨论，吉拉德定理（苏克的答案）似乎在某些情况下没有给出准确的结果，例如“由从极到极的 30º 月牙包围并以本初子午线和 30ºE 为界的区域”（见在这里）。

更精确的解决方案是直接在球体上执行线积分。 下面的比较表明这种方法更精确。

像所有其他答案一样，我应该提到我们假设一个球形地球的警告，但我认为对于非关键目的来说这已经足够了。

Python 实现

这是一个使用线积分和格林定理的 Python 3 实现：

def polygon_area(lats, lons, radius = 6378137):
    """
    Computes area of spherical polygon, assuming spherical Earth. 
    Returns result in ratio of the sphere's area if the radius is specified.
    Otherwise, in the units of provided radius.
    lats and lons are in degrees.
    """
    from numpy import arctan2, cos, sin, sqrt, pi, power, append, diff, deg2rad
    lats = np.deg2rad(lats)
    lons = np.deg2rad(lons)

    # Line integral based on Green's Theorem, assumes spherical Earth

    #close polygon
    if lats[0]!=lats[-1]:
        lats = append(lats, lats[0])
        lons = append(lons, lons[0])

    #colatitudes relative to (0,0)
    a = sin(lats/2)**2 + cos(lats)* sin(lons/2)**2
    colat = 2*arctan2( sqrt(a), sqrt(1-a) )

    #azimuths relative to (0,0)
    az = arctan2(cos(lats) * sin(lons), sin(lats)) % (2*pi)

    # Calculate diffs
    # daz = diff(az) % (2*pi)
    daz = diff(az)
    daz = (daz + pi) % (2 * pi) - pi

    deltas=diff(colat)/2
    colat=colat[0:-1]+deltas

    # Perform integral
    integrands = (1-cos(colat)) * daz

    # Integrate 
    area = abs(sum(integrands))/(4*pi)

    area = min(area,1-area)
    if radius is not None: #return in units of radius
        return area * 4*pi*radius**2
    else: #return in ratio of sphere total area
        return area

我在那里的球面几何包中写了一个更明确的版本（并且有更多的参考和待办事项......）。

数值比较

科罗拉多州将作为参考，因为之前的所有答案都在其区域进行了评估。 其精确的总面积为 104,093.67 平方英里（来自美国人口普查局，第 89 页，另见此处），或 269601367661 平方米。 我没有找到 USCB 实际方法的来源，但我认为它是基于对地面实际测量的求和，或使用 WGS84/EGM2008 的精确计算。

Method                 | Author     | Result       | Variation from ground truth
--------------------------------------------------------------------------------
Albers Equal Area      | sgillies   | 268952044107 | -0.24%
Sinusoidal             | J. Kington | 268885360163 | -0.26%
Girard's theorem       | sulkeh     | 268930758560 | -0.25%
Equal Area Cylindrical | Jason      | 268993609651 | -0.22%
Line integral          | Yellows    | 269397764066 | **-0.07%**

结论：使用直接积分更精确。

表现

我没有对不同的方法进行基准测试，将纯 Python 代码与编译的 PROJ 投影进行比较没有意义。 直观上需要更少的计算。 另一方面，三角函数可能是计算密集型的。

Answer 7

因为地球是一个封闭的表面，所以在其表面上绘制的封闭多边形会创建两个多边形区域。 您还需要定义哪个在里面，哪个在外面！

大多数时候人们会处理小多边形，所以这是“显而易见的”，但一旦你拥有海洋或大陆大小的东西，你最好确保你以正确的方式得到它。

另外，请记住，线可以以两种不同的方式从 (-179,0) 变为 (+179,0)。 一个比另一个长得多。 同样，大多数情况下您会假设这是一条从 (-179,0) 到 (-180,0) 的线，即 (+180,0) 然后到 (+179,0)，但是一个天……不会。

将 lat-long 视为简单的 (x,y) 坐标系，甚至忽略任何坐标投影都会出现扭曲和中断的事实，可能会让您在球体上大失所望。

Answer 8

我知道 10 年后回答有一些优势，但对于今天看到这个问题的人来说，提供更新的答案似乎是公平的。

pyproj 直接计算面积，不需要 shapely 调用：

# Modules:
from pyproj import Geod
import numpy as np

# Define WGS84 as CRS:
geod = Geod('+a=6378137 +f=0.0033528106647475126')

# Data for Colorado (no need to close the polygon):
coordinates = np.array([
[-102.05, 41.0], 
[-102.05, 37.0], 
[-109.05, 37.0], 
[-109.05, 41.0]])
lats = coordinates[:,1]
lons = coordinates[:,0]

# Compute:
area, perim = geod.polygon_area_perimeter(lons, lats)

print(abs(area))  # Positive is counterclockwise, the data is clockwise.

结果是：269154.54988400977 km2，或报告的正确值 (269601.367661 km2) 的 -0.17%。

Answer 9

根据 Yellows 的断言，直接积分更精确。

但是 Yellows 使用地球半径 = 6378 137 m，这是 WGS-84 椭球半长轴，而 Sulkeh 使用 6371 000 m。

在 Sulkeh 方法中使用半径 = 6378 137 m，得出 269533625893 平方米。

假设科罗拉多地区的真实值（来自美国人口普查局）是 269601367661 平方米，那么 Sulkeh 方法与地面实况的变化为：-0,025%，优于线积分法的 -0.07。

所以到目前为止，Sulkeh 的提议似乎更加精确。

为了能够对解进行数值比较，假设地球是球形的，所有计算都必须使用相同的地球半径。

Answer 10

这是一个 Python 3 实现，其中该函数将获取 lats 和 long 的元组对列表，并返回投影多边形中包含的区域。它使用 pyproj 投影坐标，然后 Shapely 查找任何投影多边形的区域

def calc_area(lis_lats_lons):

import numpy as np
from pyproj import Proj
from shapely.geometry import shape


lons, lats = zip(*lis_lats_lons)
ll = list(set(lats))[::-1]
var = []
for i in range(len(ll)):
    var.append('lat_' + str(i+1))
st = ""
for v, l in zip(var,ll):
    st = st + str(v) + "=" + str(l) +" "+ "+"
st = st +"lat_0="+ str(np.mean(ll)) + " "+ "+" + "lon_0" +"=" + str(np.mean(lons))
tx = "+proj=aea +" + st
pa = Proj(tx)

x, y = pa(lons, lats)
cop = {"type": "Polygon", "coordinates": [zip(x, y)]}

return shape(cop).area 

对于一组经度/经度样本，它给出的面积值接近于调查的近似值

calc_area(lis_lats_lons = [(-102.05, 41.0),
 (-102.05, 37.0),
 (-109.05, 37.0),
 (-109.05, 41.0)])

其输出面积为 268952044107.4342 Sq。 山。