精灵椭圆运动

Question

我试图得到一个2d精灵以“弧”（半椭圆）而不是直线移动。 我有X和Y的起始位置和结束位置以及所需的半径。

实现这个的最佳方法是什么？

Answer 1

如果你想让它在椭圆中移动，我所知道的最简单的方法是将y值作为时间与sin的函数，并将x值作为时间与cos的函数。 假设您正在使用System.currentTimeMillis（）;，您将初始时间存储在变量中（例如，double startTime = System.currentTimeMillis（）），然后在每个帧中，您将通过从中减去当前时间来获得经过时间开始时间。 （例如elapsedTme = System.currentTimeMillis（） - startTime）。 那么y值将是（y方向上的半径）* sin（elapsedTime * speed）+椭圆中心的y值，x值将是（x方向上的半径）* cos（elapsedTime * speed）椭圆中心的+ x值。

编辑：如果您有起始X和Y坐标但不是椭圆的中心，那么我认为获得中心的最简单方法是找出其余的变量，然后将它们插入等式中。 那里的数学不应该太难。

Answer 2

您可能希望使用椭圆的参数形式，此处显示的公式

http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse#General_parametric_form

因为你有一个起始点，结束pt，你需要在两端解决t，

然后以相对较小的增量从t开始到结束。

Answer 3

我认为这个问题最好通过一系列坐标变换来解决。 对于符号简单性，让我们假设你有两点是你和v。

假设您在一个非常简单的情况下工作 - 点u和v分别位于（1,0）和（-1,0），并且椭圆上的长轴长度为1.然后你'只是描绘出一个半圆形。 假设您想以恒定速度在点之间进行插值，则可以使用以下公式：

x(t) = cos(pi * t)
y(t) = sin(pi * t)

当然，你不一定很幸运能够参与这个设置，所以我们可以进行一系列的坐标转换，让你进入这个配置。 首先，让我们将点w定义为u =（x0，y0）和v =（x1，y1）之间的中间点。 那是：

w = (x2, y2) = ((x0 + x1) / 2, (y0 + y1) / 2)

现在，假设您翻译u和v以使w位于原点。 这意味着u和v沿着相反的向量与原点等距。 如果我们使用矩阵和齐次坐标，那么你可以将其表示为

     | 1  0 -x2 |
 T = | 0  1 -y2 |
     | 0  0   1 |

然后， Tu和Tv给出该翻译后u和v的位置。 我们将这些点称为u'和v'。 他们是由

u' = (x0 - x2, x1 - y2) = (x0 / 2 - x1 / 2, y0 / 2 - y1 / 2)
v' = (x1 - x2, y1 - y2) = (x1 / 2 - x0 / 2, y1 / 2 - y0 / 2)

我们现在更接近于解决原始问题，但是我们遇到的问题是u'和v'与x轴没有很好地对齐，因为它们在原始问题中。 为了解决这个问题，我们将应用一个旋转变换，使得u'最终为（1,0），v'最终为（0,1）。 为此，我们需要设置一个坐标系，其中一个基矢量位于u'方向，另一个位于垂直于它的方向。 为此，我们将选择我们的单位向量，如下所示：

e0 = u' / ||u||
e1 = perp(e0)

其中perp是一些垂直于e0单位向量。 得到这个的一种方法是，如果e0 = (x3, y3) ，那么e1 = perp(e0) = (-y3, x3) e0 = (x3, y3) e1 = perp(e0) = (-y3, x3) 。 您可以验证此向量是否垂直于(x3, y3)因为它们的点积为零。

给定这些向量，我们可以定义一个转换，将（0,0）映射到e0和（0,1）到e1

|x3 -y3  0|
|y3  x3  0|
| 0   0  1|

（最后一列是针对齐次坐标系）

当然，这与我们想要的相反 - 我们试图从e0映射到（1,0），从e1映射到（0,1）。 为了得到这个矩阵，我们只是反转上面的矩阵。 幸运的是，由于我们选择e0和e1为正交，因此上面的矩阵是正交的，所以它的逆是它的转置：

    | x3 y3 0|
R = |-y3 x3 0|
    |  0  0 1|

现在，如果我们将R应用于u'和v' ，我们最终会得到向量（1,0）和（-1,0），这就是我们想要它们的位置。 现在的问题是我们想要追踪的椭圆不一定具有单位高度。 例如，如果我们将其高度称为h ，那么我们将描绘出具有半长轴h和半轴1的椭圆路径。 但是这可以通过另一个坐标变换轻松校正，这次将corodinate系统的高度缩放1 / h以便我们想要跟踪的椭圆的高度为1.这可以通过以下缩放矩阵来完成：

    | 1  0  0 |
S = | 0 1/h 0 |
    | 0  0  1 |

这个设置有用的原因是我们知道如果我们在u和v之间的所需椭圆上取任何点，然后将矩阵SRT应用于它，那么我们最终将它转换为使用单位圆上的相应点，这是从（1,0）到（-1,0）的路径。 但更重要的是，这种方式相反。 如果我们将SRT的逆 SRT应用于单位圆上的任何点，我们最终会回到u和v之间的原始椭圆路径上的相应点！ 为了达成协议，我们知道如何在（1,0）到（-1,0）的路径上找到点，因此我们有一个算法来解决这个问题：

1. 对于给定的时间t ，如果您在时间t从（1,0）移动到（-1,0），则找到您在单位圆上的点。 叫它p 。
2. 计算p'=（SRT） ^-1 p。
3. p'是你要找的点。

那么，问题是（SRT） ^-1是什么。 幸运的是，我们有（SRT） ^-1 = T ^-1 R ^-1 S ^-1 ，所有这些矩阵都可以很容易地计算出来：

     | 1  0 -x2 |          | 1  0  x2 |
 T = | 0  1 -y2 |   T^-1 = | 0  1  y2 |
     | 0  0   1 |          | 0  0   1 |

     | x3  y3  0|          | x3 -y3 0 |
 R = |-y3  x3  0|   R^-1 = | y3  x3 0 |
     |  0   0  1|          |  0   0 1 |

     | 1  0   0 |          | 1  0   0 |
 S = | 0 1/h  0 |   S^-1 = | 0  h   0 |
     | 0  0   1 |          | 0  0   1 |

简而言之，最终的算法如下：

1. 给定u =（x0，y0）和v =（x1，y1），令w =（x2，y2）=（（x0 + x1）/ 2，（y0 + y1）/ 2）。
2. 让你'= u / || u || =（x3，y3）。
3. 在时间t（对于0≤t≤1），令p =（cos（πt），sin（πt））
4. 计算p'= S ^-1 p =（cos（πt），h sin（πt））
5. 计算p''= R ^-1 p'=（x3 cos（πt） - y3 sin（πt），y3 cos（πt）+ x3 sin（πt））
6. 计算p''= T ^-1 p''=（x3 cos（πt） - y3 sin（πt）+ x2，y3 cos（πt）+ x3 sin（πt）+ y2）
7. 输出p''作为您的观点。

对不起，如果这是很多数学，但你的答案应该（希望！）由上述程序给出。

Answer 4

我相信你正在寻找Bezier曲线，请查看http://www.math.ucla.edu/~baker/java/hoefer/Bezier.htm 。 源也可以在同一链接中获得。

如果您使用的是SWT，可以查看http://help.eclipse.org/helios/topic/org.eclipse.platform.doc.isv/reference/api/org/eclipse/swt/graphics/GC.html#drawArc （int ，int，int，int，int，int）