二次函数的渐近紧界

Question

在 CLRS（Cormen、Leiserson、Rivest 和 Stein的算法简介）中，对于 function

) = an ² + bn + c f ( ) = an ² + bn + c

他们说

/4, and n ₀ = 2·max(| b |/ a , √(| c |/ a )).假设我们将常量c ₁ = A / 4， c ₂ = 7 / 4，和N ₀ a / 4，和N = 2·MAX（| B | B | B | / k / k / k / k / k / k / k / k / k. / k / k / k / k / k / k / k / k / k / k / k / kmax （| b | b ）
那么₀ ≤ c ₁ n ² ≤ an ² + bn + c ≤ c ⁰ ₂ n为所有。
) is Θ( n ² ).因此f ( ) 是 Θ( n ² )。

但是他们没有具体说明这些常量的值是如何来的？
我试图证明它，但不能。
请告诉我这些常数是怎么来的？

Answer 1

这些特定常数没有什么特别之处（除了在某个n值的上下文中它们将满足f的 theta 值的事实）。 没有魔法。 如果您可以找到其他正常数，从而使关系成立，那同样有效（实际上，对于任何0<k<1 ， c1都可以是ka ）。 虽然既然他们在那里，让我们分析一下c1 ：

我们需要它满足以下不等式：

c1*n^2 <= an^2 + bn + c

让我们取它们的值： c1 = a/4 。 对于多少n我们可以保证不等式成立？ 我们可以解决：

a/4*n^2 <= an^2 + bn + c
<==> 0 <= 3a/4*n^2 + bn + c

二次方程在(-b +- sqrt(b^2-3ac)) / (3a/2) ，由于我们有一个正的前导系数多项式，因此只有正解是有意义的，所以我们需要n > 2 * (sqrt(b^2-3ac) - b) / 3a假设b^2 >= 3ac是很好定义的（如果不是，那么二次是正定的，这甚至更好，因为它在任何地方 >=0 并且不等式适用于所有 n)。 我应该指出这是一个有效的解决方案，尽管我们会做更多的工作，直到我们到达本书的表示。

我们可以将分析分为两种情况。 首先，让我们假设|b|/a >= sqrt(|c|/a) 。 所以我们可以从sqrt(...)的内部上方用4b^2绑定，并且要求n > 2/3 * [sqrt(4b^2)-b]/a上限可以是2/3 * 3|b|/a = 2|b|/a 。

第二种情况，假设|b|/a < sqrt(|c|/a) 。 所以我们可以用4a|c|从sqrt(...)内部的上方绑定 , 并且要求n > 2/3 * [sqrt(4a|c|)-b]/a上限可以是2/3 * 3*sqrt(a|c|)/a = 2sqrt(|c|/a) 。

所以在每种情况下，我们看到当我们取max(|b|/a, sqrt(|c|/a))时，我们的不等式在n > 2 * max时成立

对于c2也是如此。

Answer 2

这个想法是（对于足够大的n ）在两个“纯”增长函数（只有一个比例常数）之间“捕获”感兴趣的 function。 在该图中，两个二次函数（以红色和蓝色绘制）被困在两个纯增长函数（以黑色绘制）之间，并指示了每种情况下n ₀的最小可能值。

因此，一旦您选择了c ₁和c ₂的值，您就可以通过将 ZC1C425268E68385D145074C17A4 与两个纯增长函数相交来找到n ₀的值。

但是你并不关心获得n ₀的最小可能值——我们在这里做渐近，所以任何足够大的值都可以——所以你可以使用近似值来获得它的上限。

请参阅 davin 的回答，了解如何将n ₀的上限转换为 CLRS 中给出的形式。

Answer 3

要证明任何多项式 f(n)=a0+a1*n+a2*n^2+a3*n^3+...+am*n^m 是 theta(n^m)，请遵循两个简单的步骤。 步骤 1. 证明 f(n) 是 bigOh(n^m) 步骤 2. 证明 f(n) 是 bigOmega(n^m)

如果上述两个条件都成立，那么 f(n) 肯定是 bigTheta(n^m)。

这是一个概括。 通过设置 m=2，你得到 f(n) is bigTheta(n^2) 简单..不是吗？

Answer 4

那么它很容易 1.c1<=a + b/n + c/n^2 现在这里 a >0 而 b,c 是正数或负数 现在我们必须选择 n 的值，使得 b/n + c/n ^2 永远不会超过上述方程的 RHS 中的 a，否则它将变为负数，c1 也是如此。 但根据定义 c1 是一个正常数

所以我们要确保 a>b/n+c/n^2

如果我们选择 n=2*max(|b|/a, sqrt(|c|/a) ) 我们将得到 b/n + c/n^2 作为表达式，其值小于 a/2+a/ 4.

因此 a+b/n+c/n^2 将具有最大值为 a+a/2+a/4 和最小值为 a-(a/2+a/4) 这只是 c2 和 c1 的值.

c1=aa/2-a/4= a/4 c2=a+a/2+a/4= 7a/4

这个概念可以扩展到任何多项式的任何值。

干杯！！！

Answer 5

P(n) = an ² + bn + c = an ² ( 1 + b / ( an ) + c / ( an ² )) = an ² ( 1 ± ( | b | / a ) / n ± ( √ ( | c | / a) / n) ²
因此，如果我们以q = max( | b | / a, √( | c | / a )) 为例
P(n) ≤ an ² ( 1 + ( q / n ) + ( q / n ) ² )如果我们取n ₀ = q ，我们将得到第二个常数
c ₂ = 3a类似地用于下限

Answer 6

c1和c2可以任意选择，只要0 < c1 < a和a < c2 < infinity即可。 然后根据此计算n0 ，以便所有n>=n0满足不等式0 <= c1*n^2 <= an^2 + bn + c <= c2*n^2 。