foldr1的融合法？

Question

对于foldr我们有融合定律 ：如果f是严格的， fa = b ，和

f (gxy) = hx (fy)表示所有x, y ，然后是f . foldr ga = foldr hb f . foldr ga = foldr hb 。

如何为foldr1发现/推导出类似的法则？ （它显然甚至不能采用相同的形式 - 考虑双方对[x]采取行动的情况。）

Answer 1

您可以使用自由定理来推导融合定律等语句。 自由生成自由定理这对你foldr1如果输入foldr1或类型(a -> a -> a) -> [a] -> a ，它会自动导出以下语句。

如果f strict和f (pxy) = q (fx) (fy))对于所有x和y你有f (foldr1 pz) = foldr1 q (map fz)) 。 也就是说，与你关于foldr陈述相反，你会在右侧获得一个额外的map f 。

还要注意， foldr的自由定理比你的融合定律略foldr1 ，因此看起来与foldr1的定律非常相似。 即，对于所有x和y g (foldr pzv) = foldr q (gz) (map fv)) g (pxy) = q (fx) (gy))对于所有x和y你具有严格函数g和f ，然后g (foldr pzv) = foldr q (gz) (map fv)) 。

Answer 2

我不知道是否会有任何令人满意的foldr1 。 [我认为]它只是被定义为

foldr1 f (x:xs) = foldr f x xs

让我们首先扩展您的上述内容，以便在整个列表中工作，

f (foldr g x xs) = foldr h (f x) xs

对于foldr1，你可以说，

f (foldr1 g xs) = f (foldr g x xs)
= foldr h (f x) xs

为了重新融入foldr1，你可以创建一些虚构的函数，将f映射到左边的元素，结果如下：

f . foldr1 g = foldr1 h (mapfst f) where
    mapfst (x:xs) = f x : xs