foldr1的融合法？

Question

對於foldr我們有融合定律 ：如果f是嚴格的， fa = b ，和

f (gxy) = hx (fy)表示所有x, y ，然后是f . foldr ga = foldr hb f . foldr ga = foldr hb 。

如何為foldr1發現/推導出類似的法則？ （它顯然甚至不能采用相同的形式 - 考慮雙方對[x]采取行動的情況。）

Answer 1

您可以使用自由定理來推導融合定律等語句。 自由生成自由定理這對你foldr1如果輸入foldr1或類型(a -> a -> a) -> [a] -> a ，它會自動導出以下語句。

如果f strict和f (pxy) = q (fx) (fy))對於所有x和y你有f (foldr1 pz) = foldr1 q (map fz)) 。 也就是說，與你關於foldr陳述相反，你會在右側獲得一個額外的map f 。

還要注意， foldr的自由定理比你的融合定律略foldr1 ，因此看起來與foldr1的定律非常相似。 即，對於所有x和y g (foldr pzv) = foldr q (gz) (map fv)) g (pxy) = q (fx) (gy))對於所有x和y你具有嚴格函數g和f ，然后g (foldr pzv) = foldr q (gz) (map fv)) 。

Answer 2

我不知道是否會有任何令人滿意的foldr1 。 [我認為]它只是被定義為

foldr1 f (x:xs) = foldr f x xs

讓我們首先擴展您的上述內容，以便在整個列表中工作，

f (foldr g x xs) = foldr h (f x) xs

對於foldr1，你可以說，

f (foldr1 g xs) = f (foldr g x xs)
= foldr h (f x) xs

為了重新融入foldr1，你可以創建一些虛構的函數，將f映射到左邊的元素，結果如下：

f . foldr1 g = foldr1 h (mapfst f) where
    mapfst (x:xs) = f x : xs