命题逻辑

Question

我有以下问题：

我有两个命题公式必须在逻辑上等效。 从某种意义上说，变量可以被任何命题公式代替，只有其中一个包含“变量”。 现在的问题是，我需要找到该变量的实际替换项，以使逻辑等价成为真。 例：

（a ^〜b）或x = a

在此，x表示变量。 通过将x替换为^ b可以使此逻辑等价成立，因此它变为：

（a ^〜b）或（a ^ b）= a

所以这就是问题所在。 我需要一种算法，该算法将输入“带有一个变量x的方程”作为输入，并给出变量x的输出值，以使方程成为逻辑上的等价物。

总会有一个变量。 （实际上我可能会遇到多个变量的问题，但我想先解决简单的情况）。 并且所讨论的公式可以具有任何形式（它们不在CNF或DNF中）。 同样，公式实际上可以是FALSE或TRUE，并且在某些情况下没有解决方案（例如，对于“ a或x = false”，没有解决方案）或不止一个解决方案（例如，对于“ a and x = false” “任何错误的主张都是有效的答案）。

我所拥有的只是一个平稳的推理机，它告诉我公式是否可以满足。 所以我可以测试一个解决方案。 但是我的问题是只给我一个解决方案。

Answer 1

我相信您正在寻找的是可以处理未解释功能的推理引擎。 这样的引擎可以处理包含功能的问题，例如

（a ^〜b）或f（a，b）= a

并且它们通常能够生成模型，即实际上它们会生成满足您的初始公式的函数f（...）。 合适的推理引擎的一个示例是所谓的SMT求解器（请参阅SMT-LIB ）。 流行的求解器是Microsoft的Z3（请参阅Z3 ）。

该示例可以用SMT-LIB格式说明如下：

(set-option :produce-models true)
(declare-const a Bool)
(declare-const b Bool)
(declare-fun f (Bool Bool) Bool)

(assert (= (or (xor a (not b)) (f a b)) a))
(check-sat)
(get-model)
(exit)

Z3制作模型

(define-fun f ((x!1 Bool) (x!2 Bool)) Bool 
  (ite (and (= x!1 false) (= x!2 true)) false false))

满足了原来的问题。 通常，该解决方案只能满足该问题。 为了获得完整的解决方案，可以使用量词。 并非所有SMT求解器都支持它们，但是Z3例如使用完整的推理引擎来对有限域（例如布尔值）上的量词进行量化，并能够生成此类公式的模型。