命題邏輯

Question

我有以下問題：

我有兩個命題公式必須在邏輯上等效。 從某種意義上說，變量可以被任何命題公式代替，只有其中一個包含“變量”。 現在的問題是，我需要找到該變量的實際替換項，以使邏輯等價成為真。 例：

（a ^〜b）或x = a

在此，x表示變量。 通過將x替換為^ b可以使此邏輯等價成立，因此它變為：

（a ^〜b）或（a ^ b）= a

所以這就是問題所在。 我需要一種算法，該算法將輸入“帶有一個變量x的方程”作為輸入，並給出變量x的輸出值，以使方程成為邏輯上的等價物。

總會有一個變量。 （實際上我可能會遇到多個變量的問題，但我想先解決簡單的情況）。 並且所討論的公式可以具有任何形式（它們不在CNF或DNF中）。 同樣，公式實際上可以是FALSE或TRUE，並且在某些情況下沒有解決方案（例如，對於“ a或x = false”，沒有解決方案）或不止一個解決方案（例如，對於“ a and x = false” “任何錯誤的主張都是有效的答案）。

我所擁有的只是一個平穩的推理機，它告訴我公式是否可以滿足。 所以我可以測試一個解決方案。 但是我的問題是只給我一個解決方案。

Answer 1

我相信您正在尋找的是可以處理未解釋功能的推理引擎。 這樣的引擎可以處理包含功能的問題，例如

（a ^〜b）或f（a，b）= a

並且它們通常能夠生成模型，即實際上它們會生成滿足您的初始公式的函數f（...）。 合適的推理引擎的一個示例是所謂的SMT求解器（請參閱SMT-LIB ）。 流行的求解器是Microsoft的Z3（請參閱Z3 ）。

該示例可以用SMT-LIB格式說明如下：

(set-option :produce-models true)
(declare-const a Bool)
(declare-const b Bool)
(declare-fun f (Bool Bool) Bool)

(assert (= (or (xor a (not b)) (f a b)) a))
(check-sat)
(get-model)
(exit)

Z3制作模型

(define-fun f ((x!1 Bool) (x!2 Bool)) Bool 
  (ite (and (= x!1 false) (= x!2 true)) false false))

滿足了原來的問題。 通常，該解決方案只能滿足該問題。 為了獲得完整的解決方案，可以使用量詞。 並非所有SMT求解器都支持它們，但是Z3例如使用完整的推理引擎來對有限域（例如布爾值）上的量詞進行量化，並能夠生成此類公式的模型。