任何算法的时间复杂度都可能随着输入大小的增加而减少，任何一个例子

Question

我刚读过Cormen的算法书，认为big-O和big-omega不遵循三分法属性。 这意味着对于两个函数f(n)和g(n) ，可能是f(n) = O(g(n))和f(n) = Omega(g(n))都不成立的情况。 在示例中，他们认为如果函数是n^(1+sin n) ，那么它是可能的。

虽然它是正确的，但在现实世界算法中有可能具有像sin n这样的运行时间。 因为随着输入大小的增加，它有时会减少。 有没有人知道任何这样的算法，或者可以提供一个小代码片段来做到这一点。

谢谢你的答案，所以在这种情况下假设给定一个大小为n的问题P是正确的，如果它不能通过任何已知的算法在O（f（n））时间内求解，那么P的下界是欧米茄（F（N））。

Answer 1

当字符串搜索变得更长的Boyer-Moore字符串搜索算法变快。 当然，限制因素通常是搜索到的字符串的长度。

Answer 2

随着条款与变量的比率增加，随机生成的3CNF子句的SAT平均运行时间最终会下降。 直觉是当相对于变量数量有很多条款时，公式更可能“明显地”不可满足; 也就是说，典型的SAT求解算法（比穷举搜索更好的一步或两步，但足够简单以涵盖在本科逻辑课程中）很快就会遇到矛盾并停止。

当然，这些是对“随机”3CNF公式的一些概念的实验观察。 我不确定人们已经证明了什么。

Answer 3

使用任何反函数。

f(x) -> 1 / x
f(x) -> 1 / x²
f(x) -> 1 / log(x)

随着输入x增长，结果值将变小。 将较小的值与算法中较少数量的步骤相关联是相当简单的。 只需在循环中使用计数器即可移向该数字。

这是一个简单的算法。

function(x) {
    step = 0.001
    y = 1 / x;
    for (i = 0; i < y; i += step) { /* do something awesome here */ }
}

Answer 4

我很难设想一个降低复杂性的有意义的问题。 “有意义”的问题需要阅读或触摸其所有输入的部分内容。 除非输入以非常低效的方式编码，否则处理它应该花费越来越多的时间。

不过，它可能会朝着不变的方向增加。