是否有内置的matlab计算二次形式（x'* A * x）？

Question

非常简单的问题：给定N×N对称矩阵A和N向量x，是否有内置的Matlab函数来计算x'*A*x ？ 即，代替y = x'*A*x ，是否存在函数quadraticform st y = quadraticform(A, x) ？

显然我可以做y = x'*A*x ，但我需要表现，似乎应该有办法利用

1. A是对称的
2. 左右乘数是相同的向量

如果没有单一的内置函数，是否有比x'*A*x更快的方法？ 或者，Matlab解析器是否足够智能以优化x'*A*x ？ 如果是这样，你能指点我在文件中的一个地方验证这个事实吗？

Answer 1

我找不到这样的内置函数，我知道为什么。

y=x'*A*x可以写成n^2项A(i,j)*x(i)*x(j) ，其中i和j从1到n （其中A是a） nxn矩阵）。 A是对称的：对于所有i和j A(i,j) = A(j,i) 。 由于对称性，每个项在总和中出现两次，除了那些i等于j 。 所以我们有n*(n+1)/2不同的术语。 每个都有两个浮点乘法，所以一个朴素的方法总共需要n*(n+1)乘法。 很容易看出， x'*A*x的朴素计算，即计算z=A*x ，然后计算y=x'*z ，也需要n*(n+1)乘法。 然而，有一种更快的方法来求和我们的n*(n+1)/2不同的项：对于每个i ，我们可以分解x(i) ，这意味着只有n*(n-1)/2+3*n乘法就足够了。 但这并没有真正帮助： y=x'*A*x的计算运行时间仍为O(n^2) 。

因此，我认为二次形式的计算不能比O(n^2)更快地完成，并且因为这也可以通过公式y=x'*A*x ，所以没有特殊的优势。 “二次型”功能。

===更新===

我在C中写了函数“quadraticform”，作为Matlab扩展：

// y = quadraticform(A, x)
#include "mex.h" 

/* Input Arguments */
#define A_in prhs[0]
#define x_in prhs[1]

/* Output Arguments */
#define y_out plhs[0] 

void mexFunction(int nlhs, mxArray *plhs[], int nrhs, const mxArray *prhs[])
{
  mwSize mA, nA, n, mx, nx;
  double *A, *x;
  double z, y;
  int i, j, k;

  if (nrhs != 2) { 
      mexErrMsgTxt("Two input arguments required."); 
  } else if (nlhs > 1) {
      mexErrMsgTxt("Too many output arguments."); 
  }

  mA = mxGetM(A_in);
  nA = mxGetN(A_in);
  if (mA != nA)
    mexErrMsgTxt("The first input argument must be a quadratic matrix.");
  n = mA;

  mx = mxGetM(x_in);
  nx = mxGetN(x_in);
  if (mx != n || nx != 1)
    mexErrMsgTxt("The second input argument must be a column vector of proper size.");

  A = mxGetPr(A_in);
  x = mxGetPr(x_in);
  y = 0.0;
  k = 0;
  for (i = 0; i < n; ++i)
  {
    z = 0.0;
    for (j = 0; j < i; ++j)
      z += A[k + j] * x[j];
    z *= x[i];
    y += A[k + i] * x[i] * x[i] + z + z;
    k += n;
  }

  y_out = mxCreateDoubleScalar(y);
}

我将此代码保存为“quadraticform.c”，并使用Matlab编译：

mex -O quadraticform.c

我写了一个简单的性能测试这一功能与X” 的 X比较：

clear all; close all; clc;

sizes = int32(logspace(2, 3, 25));
nsizes = length(sizes);
etimes = zeros(nsizes, 2); % Matlab vs. C
nrepeats = 100;
h = waitbar(0, 'Please wait...');
for i = 1 : nrepeats
  for j = 1 : nsizes
    n = sizes(j);
    A = randn(n); 
    A = (A + A') / 2;
    x = randn(n, 1);
    if randn > 0
      start = tic;
      y1 = x' * A * x;
      etimes(j, 1) = etimes(j, 1) + toc(start);
      start = tic;
      y2 = quadraticform(A, x);
      etimes(j, 2) = etimes(j, 2) + toc(start);      
    else
      start = tic;
      y2 = quadraticform(A, x);
      etimes(j, 2) = etimes(j, 2) + toc(start);      
      start = tic;
      y1 = x' * A * x;
      etimes(j, 1) = etimes(j, 1) + toc(start);
    end;
    if abs((y1 - y2) / y2) > 1e-10
      error('"x'' * A * x" is not equal to "quadraticform(A, x)"');
    end;
    waitbar(((i - 1) * nsizes + j) / (nrepeats * nsizes), h);
  end;
end;
close(h);
clear A x y;
etimes = etimes / nrepeats;

n = double(sizes);
n2 = n .^ 2.0;
i = nsizes - 2 : nsizes;
n2_1 = mean(etimes(i, 1)) * n2 / mean(n2(i));
n2_2 = mean(etimes(i, 2)) * n2 / mean(n2(i));

figure;
loglog(n, etimes(:, 1), 'r.-', 'LineSmoothing', 'on');
hold on;
loglog(n, etimes(:, 2), 'g.-', 'LineSmoothing', 'on');
loglog(n, n2_1, 'k-', 'LineSmoothing', 'on');
loglog(n, n2_2, 'k-', 'LineSmoothing', 'on');
axis([n(1) n(end) 1e-4 1e-2]);
xlabel('Matrix size, n');
ylabel('Running time (a.u.)');
legend('x'' * A * x', 'quadraticform(A, x)', 'O(n^2)', 'Location', 'NorthWest');

W = 16 / 2.54; H = 12 / 2.54; dpi = 100;
set(gcf, 'PaperPosition', [0, 0, W, H]);
set(gcf, 'PaperSize', [W, H]);
print(gcf, sprintf('-r%d',dpi), '-dpng', 'quadraticformtest.png');

结果非常有趣。 x'*A*x和quadraticform(A,x)的运行时间收敛到O(n^2) ，但前者的因子较小：

Answer 2

MATLAB足够聪明地识别和优化某些复合矩阵表达式，我相信（尽管我无法确定）二次型是它确实做出的优化之一。

但是，它不是MathWorks倾向于记录的东西，因为a）它通常只在函数内优化，而不是在脚本中，在命令行或调试中优化b）它可能只在某些情况下工作，例如真实nonsparse A c）它可能会在不同版本之间发生变化，因此它们不希望您依赖它.d）它是使MATLAB如此优秀的专有事物之一。

要确认，您可以尝试将y=x'*A*x与B=A*x; y=x'*B B=A*x; y=x'*B 您还可以尝试使用feature('accel','off') ，这将关闭大部分优化功能。

最后，如果您联系MathWorks支持，您可以让其中一位开发人员确认是否正在进行优化。

Answer 3

我不确定这是否适用于您的情况，但我遇到了类似的情况，我想计算许多平方和。 在修补代数之后，我意识到我像数学家一样接近这个而不是像计算机工程师那样：

如果行X是你的数据点，那么第i的行Q之下将是个求和我 ：

Q = sum(X.^2 * A)

希望有所帮助！