当目标是查找某个字符串的所有出现时，KMP的最坏情况复杂度是多少？

Question

我还想知道哪种算法具有最差的案例复杂性，以便在另一个中查找所有出现的字符串。 似乎Boyer-Moore的算法具有线性时间复杂度。

Answer 1

KMP算法具有线性复杂性，用于查找字符串中所有出现的模式，如Boyer-Moore算法¹。 如果你试图在像“aaaaaaaaa”这样的字符串中找到像“aaaaaa”这样的模式，那么一旦你有了第一个完整的匹配，

aaaaaaaaa
aaaaaa
 aaaaaa
      ^

边界表包含模式前缀的下一个最长可能匹配（对应于模式的最宽边界）的信息只有一个字符短（完全匹配相当于模式结尾之后的不匹配）这方面）。 因此，模式被进一步移动一次，并且由于从边界表中已知模式的所有字符除了可能的最后匹配之外，下一个比较是在最后一个模式字符和对齐的文本字符之间。 在这种特殊情况下（在^n中发现^m的出现），这是天真匹配算法的最坏情况，KMP算法将每个文本字符恰好比较一次。

在每一步中，至少有一个

• 比较文本字符的位置
• 模式的第一个字符相对于文本的位置

增加，并且从未减少。 比较文本字符的位置最多可以增加length(text)-1次，第一个模式字符的位置最多可以增加length(text) - length(pattern)次数，因此算法最多需要2*length(text) - length(pattern) - 1步。

预处理（边界表的构造）最多需要2*length(pattern)步骤，因此总体复杂度为O（m + n），如果m是模式的长度，则不再执行m + 2*n步骤和n文本的长度。

¹请注意，如果需要所有匹配，通常呈现的Boyer-Moore算法对于周期性模式具有O（m * n）的最坏情况复杂度，并且如果需要所有匹配则具有^m和^n的文本，因为在完全匹配之后，

aaaaaaaaa
aaaaaa
 aaaaaa
      ^
  <- <-
 ^

整个模式将被重新比较。 为避免这种情况，您需要记住在完全匹配后移位后模式的前缀仍然匹配多长时间，并且仅比较新字符。

Answer 2

关于KMP的文章很长，请访问http://en.wikipedia.org/wiki/Knuth-morris-pratt ，最后说的是

由于算法的两个部分分别具有O（k）和O（n）的复杂度，因此整个算法的复杂度为O（n + k）。

无论W或S中有多少重复模式，这些复杂性都是相同的。（最终引用）

因此，KMP搜索的总成本在字符串和模式的字符数中是线性的。 即使你需要在字符串中找到多次出现的模式，我认为这仍然存在 - 如果不是，只需要考虑搜索patternQ，其中Q是文本中没有出现的字符，并记下KMP状态显示的位置它已经匹配到Q的一切。

Answer 3

您可以在O(length)计算字符串的Pi函数。 KMP构建一个长度为n+m+1的特殊字符串，并在其上计算Pi函数，因此无论如何复杂度为O(n+m+1)=O(n+m)