使用MATLAB查找三角函数的Minimax多项式逼近

Question

我正在尝试使用MATLAB中的remez交换算法找到正弦和余弦的极小多项式逼近。 因为我要为IEEE-754浮点实现正弦和余弦函数，所以需要精确到23位。

使用此处的链接（请参阅第8至15页），给出了使用Mathematica和Maple查找多项式的指令，但是，我不确定如何将这些方法外推到MATLAB。

根据表3，我需要使用5或6阶多项式来获得〜23位（小数点后）的精度。

我计划首先执行将所有传入theta的范围缩小到-pi / 4到+ pi / 4之间，然后根据需要执行正弦或余弦函数（最终目标是实现exp（i * x）= cos（ x）+ i * sin（x）。

我也许可以自己按照本文的说明进行操作，但是在这里我不知道如何使用remez函数。 另外，我既不理解为什么作者使用方程式（6）（第9页），也不理解k的方程式（第11页）是如何确定的（2796021来自何处？）以及为什么要进行定义我们想以多项式的形式最终以sin9x）= x + kx ^ 3 + x ^ 5 * P（x ^ 2）结束。

改用firpm函数会更好吗（因为不推荐使用remez ）？

谢谢您，所有帮助和指导，以及进行编辑以确保对我的问题的最佳答案，我们深表感谢。

Answer 1

我不会尝试开发自己的近似值。 更简单的是拿起《计算机近似》的副本，Hart等人。 一个好的大学图书馆应该有它。 23位大约是7个十进制数字，因此只需选择一个近似值即可为您提供所需的精度。 您可以选择简单的多项式逼近，也可以使用有理多项式，只要可以容忍除法，通常更好。

缩小范围确实是有道理的，实际上，我在自己的工具中选择了相同的范围（+/- pi / 4），因为这种选择范围特别容易使用。

编辑：（一个示例的用法可以在Hart中找到。）

在这里，我将找到sin（x）的近似值，其中x位于间隔[0，pi / 4]中。 我的目标是在该间隔内选择一个绝对精度至少为1.e-7的近似值。 当然，如果x的值为负，我们知道sin（x）是一个奇数函数，因此这是微不足道的。

我注意到，Hart中的近似值趋于采用sin（alpha pi x）的形式，其中x处于区间[0,1]中。 如果然后选择alpha = 1/2的近似值，那么我得到的近似值在选定的时间间隔内有效。 因此，对于区间[0，pi / 4]的近似值，我们寻找alpha = 1/4。

接下来，我将寻找一个表示其绝对精度至少为7位数左右的近似值，并且我将更喜欢使用有理多项式近似值，因为它们往往会更有效率。 向下浏览第118页的表格（我的Hart副本来自1978年），我发现α= 1/4的近似值适合该要求：索引3060。

这种近似形式为

sin(alpha*pi*x) = x*P(x^2)/Q(x^2)

因此，现在我转到提供SIN 3060系数的页面。在我的副本中，它位于199-200页上。 有5个系数，P00，P01，P02，Q00，Q01。 （请注意此处使用的某种非标准科学符号。）因此，P（分子多项式）中有3个项，而Q分母有2个项。 写出来，我得到这个：

sin(alpha*pi*x) = (52.81860134812 -4.644800481954*x^3 + 0.0867545069521*x^5)/ ...
    (67.250731777791 + x^2)

现在让我们在MATLAB中尝试一下。

x = linspace(0,pi/4,10001);
xt = x*4/pi; % transform to [0,1]
sine = @(x) (52.81860134812*x -4.644800481954*x.^3 + ...
     0.0867545069521*x.^5)./(67.250731777791 + x.^2);

max(abs(sin(x) -sine(xt)))
ans =
   1.6424e-09

plot(x,sin(x)- sine(xt),'-')

请注意1e-9附加到y轴。

看起来这是在该特定时间间隔内对sin（x）逼近的最合理选择，尽管这提供了大约29位的精度，而不是您要求的23位。 如果您愿意选择其他范围缩小间隔，则可以节省一些术语，这可能会节省一些不必要的费用。

log2(max(abs(sin(x) -sine(xt))))
ans =
      -29.182