带约束的二部图中的最大权重匹配

Question

假设我们有两个集合：A =（a_1，a_2，...，a_m）和B =（b_1，b_2，...，a_n）（不一定大小相同）。 函数F为从集合A到集合B的每个链接分配权重：F：A * B-> R。 因此，例如，F（a_1，b_1）= 2意味着a_1和b_1之间的链接的权重为2。问题是将集合A的元素连接到集合B的元素，以最大程度地增加集合A的元素。满足以下约束的链接权重：

• 集A的元素必须与集B的一个元素完全匹配。
• 尽管对B的元素存在权重之和C_i的约束，但允许集合B的元素具有零个或多个匹配（0,1,2 ...）。也就是说，如果我们选择将a_1连接到b_1，从a_2到b_1，权重F（a_1，b_1）+ F（a_2，b_1）的总和应小于或等于C_1。 B的所有元素都有此约束。

我已经搜索了一些想法，并研究了赋值问题和匈牙利算法。 另一件事是这些都不考虑我的第二个约束。 您对如何解决这个问题有任何想法吗？

谢谢

Answer 1

这是NP难题。

取一个子集和实例{x ₁ ，x ₂ ，...，x _n }，其中x _i > 0和一个数字k。 创建一个二部图，其中左顶点为{a ₁ ，...，a _n }，右顶点为{b ₁ ，b ₂ }，并且：

F（a _i ，b ₁ ）= x _i

F（a _i ，b ₂ ）= 0

C ₁ = k

C ₂ = 0

因此，您可以通过将_i与b ₁连接来获取x _i的值，而通过与b ₂连接来保留数字x _i 。 显然，如果子集和实例具有解，则权重k匹配。