帶約束的二部圖中的最大權重匹配

Question

假設我們有兩個集合：A =（a_1，a_2，...，a_m）和B =（b_1，b_2，...，a_n）（不一定大小相同）。 函數F為從集合A到集合B的每個鏈接分配權重：F：A * B-> R。 因此，例如，F（a_1，b_1）= 2意味着a_1和b_1之間的鏈接的權重為2。問題是將集合A的元素連接到集合B的元素，以最大程度地增加集合A的元素。滿足以下約束的鏈接權重：

• 集A的元素必須與集B的一個元素完全匹配。
• 盡管對B的元素存在權重之和C_i的約束，但允許集合B的元素具有零個或多個匹配（0,1,2 ...）。也就是說，如果我們選擇將a_1連接到b_1，從a_2到b_1，權重F（a_1，b_1）+ F（a_2，b_1）的總和應小於或等於C_1。 B的所有元素都有此約束。

我已經搜索了一些想法，並研究了賦值問題和匈牙利算法。 另一件事是這些都不考慮我的第二個約束。 您對如何解決這個問題有任何想法嗎？

謝謝

Answer 1

這是NP難題。

取一個子集和實例{x ₁ ，x ₂ ，...，x _n }，其中x _i > 0和一個數字k。 創建一個二部圖，其中左頂點為{a ₁ ，...，a _n }，右頂點為{b ₁ ，b ₂ }，並且：

F（a _i ，b ₁ ）= x _i

F（a _i ，b ₂ ）= 0

C ₁ = k

C ₂ = 0

因此，您可以通過將_i與b ₁連接來獲取x _i的值，而通過與b ₂連接來保留數字x _i 。 顯然，如果子集和實例具有解，則權重k匹配。