插入排序分析和求和符号

Question

我试图了解插入排序的最坏情况分析，但我对幻灯片 21 (ppt) 中涉及的数学有疑问。

我理解第一个公式：

但这些我正在努力：

1. 为什么最后有一个- 1 ？
   
2. 另外，我不明白这一点：
   

Answer 1

对 1 到 n 的数字求和是高斯的技巧：

第一个公式

但是，您要计算的总和从2开始，而不是1 ，这就是您必须从公式中减去第一项（即 1）的原因：

第二个公式

本质上，您计算从 1 到 (n-1) 的总和。 如果替代n高斯招用n-1您会收到他们使用第二个公式。

您还可以通过索引转换看到这一点：

如您所见，我调整了总和的边界：总和的上限和下限都减少了 1。实际上，这将总和中的所有项减 1，要纠正此问题，您必须加 1 Σ 下的项： (j-1) + 1 = j 。

Answer 2

Σ(j=2 to n) j=n(n+1)/2-1从 2 而不是 1 开始。所以除了 1 之外，它是相同的项加在一起。所以总和少了 1。

Σ(j=2 to n)(j-1)是与Σ(j=1 to n-1)(j)相加的相同项。 所以要找到它的总和，在公式n(n+1)/2中用n-1替换n 。