这段混淆的 Haskell 代码是如何工作的？

Question

在阅读https://en.uncyclopedia.co/wiki/Haskell （并忽略所有“令人反感”的东西）时，我偶然发现了以下一段混淆代码：

fix$(<$>)<$>(:)<*>((<$>((:[{- thor's mother -}])<$>))(=<<)<$>(*)<$>(*2))$1

当我在ghci运行那段代码时（在导入Data.Function和Control.Applicative ）， ghci打印出 2 的所有幂的列表。

这段代码是如何工作的？

Answer 1

首先，我们有一个可爱的定义

x = 1 : map (2*) x

如果您以前从未见过它，这本身就有点令人费解。 无论如何，这是一个相当标准的懒惰和递归技巧。 现在，我们将使用fix和 point-free-ify 摆脱显式递归。

x = fix (\vs -> 1 : map (2*) vs)
x = fix ((1:) . map (2*))

我们要做的下一件事是扩展:部分并使map变得不必要地复杂。

x = fix ((:) 1 . (map . (*) . (*2)) 1)

好吧，现在我们有这个常量1两个副本。 那永远不会，所以我们将使用 reader applicative 去重复它。 此外，函数组合有点垃圾，所以让我们尽可能用(<$>)替换它。

x = fix (liftA2 (.) (:) (map . (*) . (*2)) 1)
x = fix (((.) <$> (:) <*> (map . (*) . (*2))) 1)
x = fix (((<$>) <$> (:) <*> (map <$> (*) <$> (*2))) 1)

接下来：对map调用太易读了。 但是没有什么可害怕的：我们可以使用单子定律来扩展它。 特别是， fmap fx = x >>= return . f fmap fx = x >>= return . f , 所以

map f x = x >>= return . f
map f x = ((:[]) <$> f) =<< x

我们可以点自由化，将(.)替换为(<$>) ，然后添加一些虚假部分：

map = (=<<) . ((:[]) <$>)
map = (=<<) <$> ((:[]) <$>)
map = (<$> ((:[]) <$>)) (=<<)

代入我们上一步中的这个等式：

x = fix (((<$>) <$> (:) <*> ((<$> ((:[]) <$>)) (=<<) <$> (*) <$> (*2))) 1)

最后，你打破你的空格键并产生美妙的最终方程

x=fix(((<$>)<$>(:)<*>((<$>((:[])<$>))(=<<)<$>(*)<$>(*2)))1)

Answer 2

正在写一个很长的答案，其中包含导致最终代码的实验的完整运行 IRC 日志（这是在 2008 年初），但我不小心写下了所有文本:) 虽然损失不大 - 对于Daniel 的大部分分析都恰到好处。

这是我的开始：

Jan 25 23:47:23 <olsner>        @pl let q = 2 : map (2*) q in q
Jan 25 23:47:23 <lambdabot>     fix ((2 :) . map (2 *))

差异主要归结为重构发生的顺序。

• 而不是x = 1 : map (2*) x我开始用2 : map ... ，我不停，最初的2右，直到最后的版本，在这里我在挤(*2)并改变了$2处最后变成$1 。 “使地图不必要地复杂”这一步没有发生（那么早）。
• 我用liftM2代替liftA2
• 在用 Applicative 组合器替换 LiftM2 之前，引入了混淆的map函数。 这也是所有空间消失的时候。
• 甚至我的“最终”版本也有很多. 用于剩余的函数组合。 用<$>替换所有这些显然发生在那个和 uncyclopedia 之间的几个月里。

顺便说一句，这是一个不再提及数字2的更新版本：

fix$(<$>)<$>(:)<*>((<$>((:[{- Jörð -}])<$>))(=<<)<$>(*)<$>(>>=)(+)($))$1

Answer 3

这两个答案都是从突然给出的简短原始代码中得出混淆代码片段的，但问题实际上是问长混淆代码如何完成其​​工作。

就是这样：

fix$(<$>)<$>(:)<*>((<$>((:[{- thor's mother -}])<$>))(=<<)<$>(*)<$>(*2))$1 
= {- add spaces, remove comment -}
fix $ (<$>) <$> (:) <*> ( (<$> ((:[]) <$>) ) (=<<)  <$>  (*)  <$>  (*2) ) $ 1 
--                      \__\______________/_____________________________/
= {-    A   <$> B   <*> C                          $ x   =   A (B x) (C x) -}
fix $ (<$>) (1 :)     ( ( (<$> ((:[]) <$>) ) (=<<)  <$>  (*)  <$>  (*2) ) 1 )
--                      \__\______________/____________________________/
= {- op f g = (f `op` g) ; (`op` g) f = (f `op` g) -}
fix $ (1 :) <$>  ( (((=<<) <$> ((:[]) <$>) )        <$>  (*)  <$>  (*2) ) 1 )
--                  \\____________________/____________________________/
= {- <$> is left associative anyway -}
fix $ (1 :) <$>  ( ( (=<<) <$> ((:[]) <$>)          <$>  (*)  <$>  (*2) ) 1 )
--                  \__________________________________________________/
= {- A <$> foo = A . foo when foo is a function -}
fix $ (1 :) <$>  ( ( (=<<) <$> ((:[]) <$>)           .   (*)   .   (*2) ) 1 )
--                  \__________________________________________________/
= {- ((:[]) <$>) = (<$>) (:[]) = fmap (:[])  is a function -}
fix $ (1 :) <$>  ( ( (=<<)  .  ((:[]) <$>)           .   (*)   .   (*2) ) 1 )
--                  \__________________________________________________/
= {- (a . b . c . d) x = a (b (c (d x))) -}
fix $ (1 :) <$>      (=<<)  (  ((:[]) <$>)           (   (*)   (   (*2)   1 )))
= {- (`op` y) x = (x `op` y) -}
fix $ (1 :) <$>      (=<<)  (  ((:[]) <$>)           (   (*)   2             ))
= {- op x = (x `op`) -}
fix $ (1 :) <$>      (=<<)  (  ((:[]) <$>)              (2*)                  )
= {-  (f `op`) g = (f `op` g) -}
fix $ (1 :) <$>      (=<<)  (   (:[]) <$>               (2*)                  )
= {-  A <$> foo = A . foo when foo is a function -}
fix $ (1 :) <$>      (=<<)  (   (:[])  .                (2*)                  )
= {-  (f . g) = (\ x -> f (g x)) -}
fix $ (1 :) <$>      (=<<)  (\ x -> [2*x]  )
= {- op f = (f `op`)  -}
fix $ (1 :) <$>           ( (\ x -> [2*x]  )  =<<)

这里( (\\ x -> [2*x]) =<<) = (>>= (\\ x -> [2*x])) = concatMap (\\ x -> [2*x]) = map (2*)是一个函数，所以<$> = . ：

= 
fix $ (1 :)  .  map (2*)
= {- substitute the definition of fix -}
let xs = (1 :) . map (2*) $ xs in xs
=
let xs = 1 : [ 2*x | x <- xs] in xs
= {- xs = 1 : ys -}
let ys =     [ 2*x | x <- 1:ys] in 1:ys
= {- ys = 2 : zs -}
let zs =     [ 2*x | x <- 2:zs] in 1:2:zs
= {- zs = 4 : ws -}
let ws =     [ 2*x | x <- 4:ws] in 1:2:4:ws
=
iterate (2*) 1
= 
[2^n | n <- [0..]]

都是2的幂，按升序排列。

---

这使用

• A <$> B <*> C $ x = liftA2 ABC x并且因为liftA2 ABC被应用到x它是一个函数，作为一个函数它意味着liftA2 ABC x = A (B x) (C x) 。
• (f `op` g) = op fg = (f `op`) g = (`op` g) f是算子部分的三个定律

• >>=是(`op` g) f = op fg绑定，因为(`op` g) f = op fg并且类型是

  (>>=) :: Monad m => ma -> (a -> mb ) -> mb (\\ x -> [2*x]) :: Num t => t -> [ t] (>>= (\\ x -> [2*x])) :: Num t => [ t] -> [ t]

  通过类型应用和替换，我们看到所讨论的 monad 是[]其中(>>= g) = concatMap g 。

• concatMap (\\ x -> [2*x]) xs简化为

  concat $ map (\\ x -> [2*x]) = concat $ [ [2*x] | x <- xs] = [ 2*x | x <- xs] = map (\\ x -> 2*x )

• 根据定义，

   (f . g) x = f (gx) fix f = let x = fx in x iterate fx = x : iterate f (fx) = x : let y = fx in y : iterate f (fy) = x : let y = fx in y : let z = fy in z : iterate f (fz) = ... = [ (f^n) x | n <- [0..]]

  在哪里

   f^n = f . f . ... . f -- \\_____n_times _______/

  以便

  ((2*)^n) 1 = ((2*) . (2*) . ... . (2*)) 1 = 2* ( 2* ( ... ( 2* 1 )...)) = 2^n , for n in [0..]