使用LAPACK求解Ax = B，其中x> = 0

Question

我目前正在开发一个处理水中化学添加物的iOS应用。 为了找到最小的可能加法，我求解Ax = B，其中A是6x6矩阵，B是一列。 据我所读，加速框架中的LAPACK是处理此问题的最佳方法。 我已经能够使用DGESV_使它适用于少量添加，但是较大的添加对于x具有负值。 这是一个问题，因为您不能添加负量的化学药品。

所以我需要知道的是，LAPACK中是否有一个函数可以让我找到Ax = B的最小解，其中x始终大于或等于0？ 如果不是，是否有替代解决方案（除了自己做数学之外）？

谢谢

Answer 1

除非A是秩不足的，否则Ax = B且A平方的解是唯一的。 因此，没有办法消除答案中的负面因素。

如果假设A和B可能包含导致负分量的错误，但想找到所有非负分量的“附近”解决方案，则可以将其强制转换为：

minimize |Ax - b|  subject to x >= 0

这是一个二次程序。 有一些库可以解决此类问题，但是LAPACK并不是其中之一。

编辑

您的矩阵是完整等级。 Wolfram Alpha非常适合玩这样的小问题。 您的6x6的行列式为5x10 ^ 11，因此条件非常好。

我不是QP专家，但是这个人有特殊的结构。 对于标准格式（请参阅Wikipedia中的符号 ），重写为：

minimize ( x'(A'A)x + (-2b'A)x )  subject to x >= 0

在这里，二次系数矩阵Q = A'A是对称正定的，（如果我正确地回忆了我的矩阵代数），使系统凸Q = A'A易于求解：保证了单个全局解。 注意c = -2b'A 。

这是QP库的页面 ，有些使用C语言，有些针对凸情况进行了优化。 也许其中之一会为您工作。