使用LAPACK求解Ax = B，其中x> = 0

Question

我目前正在開發一個處理水中化學添加物的iOS應用。 為了找到最小的可能加法，我求解Ax = B，其中A是6x6矩陣，B是一列。 據我所讀，加速框架中的LAPACK是處理此問題的最佳方法。 我已經能夠使用DGESV_使它適用於少量添加，但是較大的添加對於x具有負值。 這是一個問題，因為您不能添加負量的化學葯品。

所以我需要知道的是，LAPACK中是否有一個函數可以讓我找到Ax = B的最小解，其中x始終大於或等於0？ 如果不是，是否有替代解決方案（除了自己做數學之外）？

謝謝

Answer 1

除非A是秩不足的，否則Ax = B且A平方的解是唯一的。 因此，沒有辦法消除答案中的負面因素。

如果假設A和B可能包含導致負分量的錯誤，但想找到所有非負分量的“附近”解決方案，則可以將其強制轉換為：

minimize |Ax - b|  subject to x >= 0

這是一個二次程序。 有一些庫可以解決此類問題，但是LAPACK並不是其中之一。

編輯

您的矩陣是完整等級。 Wolfram Alpha非常適合玩這樣的小問題。 您的6x6的行列式為5x10 ^ 11，因此條件非常好。

我不是QP專家，但是這個人有特殊的結構。 對於標准格式（請參閱Wikipedia中的符號 ），重寫為：

minimize ( x'(A'A)x + (-2b'A)x )  subject to x >= 0

在這里，二次系數矩陣Q = A'A是對稱正定的，（如果我正確地回憶了我的矩陣代數），使系統凸Q = A'A易於求解：保證了單個全局解。 注意c = -2b'A 。

這是QP庫的頁面 ，有些使用C語言，有些針對凸情況進行了優化。 也許其中之一會為您工作。