派生透视投影平面

Question

给定一个透视投影矩阵和投影中心，如何推导出投影平面？ 例如，让我们假设透视投影矩阵是一个 4x4 齐次矩阵：

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 2 0 0

和投影中心 [0, 0, 0]。 从这些数据中，可以清楚地看出每个点是如何投影到投影平面上的。 但是如何使用这些数据来找到投影平面的精确方程/表示呢？

Answer 1

与“投影中心”（即相机在 3D 场景中的有效位置）不同，在图像被投影到的概念平面的意义上，不需要具体的“投影平面”。

相反，投影矩阵确定了到“剪辑空间”的转换，它确定了视口边界和深度映射，从中进一步缩放和偏移x和y坐标以获得目标像素位置。 然而，这些都没有转化为场景中的实际平面，该平面以某种方式对应于物理相机的焦平面。

您可以从相机矩阵中导出相关平面：

• w=0平面，即投影矩阵的第四行。 该平面通过投影中心，并将相机前面的点与后面的点分开； w=0平面上的任何点都不可见。 在您的示例中，该平面是0 2 0 0 ，即 XZ 坐标平面。

• z=0平面，即投影矩阵的第三行。 结合w=0平面，它确定深度映射函数和近/远剪裁平面。 在您的示例中，该平面是0 0 1 0 ，即 XY 坐标平面。

相机矩阵的其余行也表示平面：第一行和第二行分别是x=0和y=0平面。 从某种意义上说，它们根本不像w=0平面那样具体； 传统上，他们将剪辑空间（和视锥体）分成象限。 它们通过对w=0平面坐标求和和差来确定视锥体的水平和垂直边界平面。

“投影中心”是x=0 、 y=0和w=0平面（即投影矩阵的第一、第二和第四行）相交处的点。 我应该注意，这表明您的示例是一个非常规配置：“投影中心”没有明确定义，并且您的所有点都将使用裁剪空间坐标进行映射，使得y/w = 1/2 ，这通常会是屏幕下方四分之一处的水平线。 另请注意，通常情况下， z=0平面应与w=0平面平行，仅在无穷远处相交（而不是沿 X 轴，如您的示例中所示）。

近剪裁平面和远剪裁平面根据图形系统的剪裁空间约定从z=0和w=0平面派生而来：

• OpenGL 的深度裁剪是z/w = [near=-1, far=+1]
  • 它的近剪裁平面是上述w=0和z=0平面的总和（在您的示例中为0 2 1 0 ）
  • 它的远剪裁平面是它们的区别（示例中为0 2 -1 0 ）
• DirectX 的深度裁剪为z/w = [near=0, far=-1]
  • 它的近剪裁平面是z=0平面（在您的示例中为0 0 1 0 ）
  • 它的远裁剪平面是两者的总和（与 OpenGL 近裁剪平面相同，在您的示例中为0 2 1 0 ）