逻辑回归预测的置信区间

Question

在 R 中， predict.lm 根据线性回归的结果计算预测，并提供计算这些预测的置信区间。 根据手册，这些区间是基于拟合的误差方差，而不是基于系数的误差区间。

另一方面，根据逻辑和泊松回归（以及其他一些）计算预测的 predict.glm 没有置信区间的选项。 我什至很难想象如何计算这样的置信区间来为泊松和逻辑回归提供有意义的见解。

是否存在为此类预测提供置信区间有意义的情况？ 如何解释它们？ 这些情况下的假设是什么？

Answer 1

通常的方法是在线性预测器的尺度上计算置信区间，其中事情会更正常（高斯），然后应用链接函数的倒数将置信区间从线性预测器尺度映射到响应尺度。

为此，您需要做两件事；

1. 使用type = "link"调用predict() ，以及
2. 使用se.fit = TRUE调用predict() 。

第一个在线性预测器的尺度上生成预测，第二个返回预测的标准误差。 在伪代码中

## foo <- mtcars[,c("mpg","vs")]; names(foo) <- c("x","y") ## Working example data
mod <- glm(y ~ x, data = foo, family = binomial)
preddata <- with(foo, data.frame(x = seq(min(x), max(x), length = 100)))
preds <- predict(mod, newdata = preddata, type = "link", se.fit = TRUE)

preds然后是一个包含组件fit和se.fit的列表。

那么线性预测器的置信区间是

critval <- 1.96 ## approx 95% CI
upr <- preds$fit + (critval * preds$se.fit)
lwr <- preds$fit - (critval * preds$se.fit)
fit <- preds$fit

critval是根据需要从t或z （正态）分布中选择的（我现在确切地忘记了用于哪种类型的 GLM 以及属性是什么）以及所需的覆盖率。 1.96是高斯分布的值，覆盖率为 95%：

> qnorm(0.975) ## 0.975 as this is upper tail, 2.5% also in lower tail
[1] 1.959964

现在对于fit ， upr和lwr我们需要对它们应用链接函数的逆函数。

fit2 <- mod$family$linkinv(fit)
upr2 <- mod$family$linkinv(upr)
lwr2 <- mod$family$linkinv(lwr)

现在您可以绘制所有三个和数据。

preddata$lwr <- lwr2 
preddata$upr <- upr2 
ggplot(data=foo, mapping=aes(x=x,y=y)) + geom_point() +         
   stat_smooth(method="glm", method.args=list(family=binomial)) + 
   geom_line(data=preddata, mapping=aes(x=x, y=upr), col="red") + 
   geom_line(data=preddata, mapping=aes(x=x, y=lwr), col="red") 

Answer 2

我偶然发现了刘文穗的方法，该方法使用引导或模拟方法来解决泊松估计的问题。

作者的例子

pkgs <- c('doParallel', 'foreach')
lapply(pkgs, require, character.only = T)
registerDoParallel(cores = 4)
 
data(AutoCollision, package = "insuranceData")
df <- rbind(AutoCollision, AutoCollision)
mdl <- glm(Claim_Count ~ Age + Vehicle_Use, data = df, family = poisson(link = "log"))
new_fake <- df[1:5, 1:2]

boot_pi <- function(model, pdata, n, p) {
  odata <- model$data
  lp <- (1 - p) / 2
  up <- 1 - lp
  set.seed(2016)
  seeds <- round(runif(n, 1, 1000), 0)
  boot_y <- foreach(i = 1:n, .combine = rbind) %dopar% {
    set.seed(seeds[i])
    bdata <- odata[sample(seq(nrow(odata)), size = nrow(odata), replace = TRUE), ]
    bpred <- predict(update(model, data = bdata), type = "response", newdata = pdata)
    rpois(length(bpred), lambda = bpred)
  }
  boot_ci <- t(apply(boot_y, 2, quantile, c(lp, up)))
  return(data.frame(pred = predict(model, newdata = pdata, type = "response"), lower = boot_ci[, 1], upper = boot_ci[, 2]))
}
 
boot_pi(mdl, new_fake, 1000, 0.95)

sim_pi <- function(model, pdata, n, p) {
  odata <- model$data
  yhat <- predict(model, type = "response")
  lp <- (1 - p) / 2
  up <- 1 - lp
  set.seed(2016)
  seeds <- round(runif(n, 1, 1000), 0)
  sim_y <- foreach(i = 1:n, .combine = rbind) %dopar% {
    set.seed(seeds[i])
    sim_y <- rpois(length(yhat), lambda = yhat)
    sdata <- data.frame(y = sim_y, odata[names(model$x)])
    refit <- glm(y ~ ., data = sdata, family = poisson)
    bpred <- predict(refit, type = "response", newdata = pdata)
    rpois(length(bpred),lambda = bpred)
  }
  sim_ci <- t(apply(sim_y, 2, quantile, c(lp, up)))
  return(data.frame(pred = predict(model, newdata = pdata, type = "response"), lower = sim_ci[, 1], upper = sim_ci[, 2]))
}
 
sim_pi(mdl, new_fake, 1000, 0.95)

Answer 3

是否可以针对特定值的Fit（2）-Curve获得95％的CI，以便使人知道例如Fit值为24，CI为21-26？

我尝试对实时PCR结果进行这种回归，以找到检测极限并获得该值的CI。

谢谢你的帮助。