在matlab中求解矩阵方程

Question

我有一个类型c = Ax + By的等式，其中c ， x和y是尺寸为50,000 X 1的向量， A和B是尺寸为50,000 X 50,000的矩阵。

当c ， x和y已知时，Matlab中是否有任何方法可以找到矩阵A和B ？

我有大约100,000个c ， x和y样本。 A和B对所有人保持不变。

Answer 1

设X是你得到的所有100,000 x s的集合（这样X的第i列等于x_i -th向量）。
以相同的方式，我们可以将Y和C分别定义为y s和c s的2D集合。

你想要解决的是A和B这样的

C = AX + BY

您有2 * 50,000 ^ 2个未知数（ A和B所有条目）和numel(C)方程。

因此，如果您拥有的数据向量数为100,000，则您只有一个解决方案（最多取决于线性相关的样本）。 如果您有超过100,000个样本，您可以寻求最小二乘解。

重新书写：

C = [A B] * [X ; Y]  ==>  [X' Y'] * [A';B'] = C'

所以，我想

[A' ; B'] = pinv( [X' Y'] ) * C'

在matlab中：

ABt = pinv( [X' Y'] ) * C';
A = ABt(1:50000,:)';
B = ABt(50001:end,:)';

如我错了请纠正我...

编辑：
这里似乎有很大的维度。 所以，我会尽量让它变得清晰。

模型：有两个（未知）矩阵A和B ，每个矩阵大小为50,000x50,000（总共5e9个未知数）。
观察是向量的三元组：（ x ， y ， c ）每个这样的载体具有50,000个元素（ 每个样品总共150,000个观察点）。 基础模型假设是在该模型中由c = Ax + By生成观测值。
任务：给定n观测值（即n三元组的向量 {（ x_i ， y_i ， c_i ）} _ i=1..n ），任务是揭示A和B

现在，每个样本（ x_i ， y_i ， c_i ）在未知A和B c_i = Ax_i + By_i形式为c_i = Ax_i + By_i 50,000个方程。 如果样本数n 大于 100,000，则存在超过50,000 * 100,000（> 5e9）个方程，并且系统超出约束 。

为了以矩阵形式编写系统，我建议将所有观察结果堆叠到矩阵中：

• 矩阵X的大小为50,000 x n ，其第i列等于观察到的x_i
• 矩阵Y的大小为50,000 x n ，其第i列等于观察到的y_i
• 矩阵C的大小为50,000 x n ，其第i列等于观察到的c_i

使用这些矩阵，我们可以将模型编写为：

C = A * X + B * Y.

我希望这可以解决一些问题。

感谢@Dan和@woodchips的兴趣和启发性评论。

编辑（2）：
提交以下代码到八度 。 在这个例子而不是50,000维度我只使用2，而不是n=100,000观察我确定n=100 ：

n = 100;
A = rand(2,2);
B = rand(2,2);
X = rand(2,n);
Y = rand(2,n);
C = A*X + B*Y + .001*randn(size(X)); % adding noise to observations 
ABt = pinv( [ X' Y'] ) * C';

检查地面实况模型（ A和B ）与恢复的ABt之间的差异：

ABt - [A' ; B']

产量

  ans =

   5.8457e-05   3.0483e-04
   1.1023e-04   6.1842e-05
  -1.2277e-04  -3.2866e-04
  -3.1930e-05  -5.2149e-05

哪个足够接近零。 （记住，观察结果是嘈杂的，解决方案是最不正方形的）。