兩個簡單遞歸函數的Big-O表示法

Question

我在Python中有兩個遞歸函數，只是想知道它們的Big O表示法。 每個人的大O是什么？

def cost(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return cost(n-1) + cost(n-1)

def cost(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return 2*cost(n-1)

Answer 1

讓我們使用遞歸關系來解決這個問題！ 第一個函數的運行時可以遞歸地描述為

T（0）= 1

T（n + 1）= 2T（n）+ 1

也就是說，基本情況需要一個時間單位才能完成，否則我們會對較小的問題實例進行兩次遞歸調用，並進行一些設置和清理工作。 我們得到的是，在這種復發中擴展一些術語

• T（0）= 1
• T（1）= 2T（0）+ 1 = 2 + 1 = 3
• T（2）= 2T（1）+ 1 = 2×3 + 1 = 7
• T（3）= 2T（2）+ 1 = 2×7 + 1 = 15

這個系列1,3,7,15 ......可能看起來很熟悉，因為它是2 ¹ - 1,2 ² - 1,2 ³ - 1等。更一般地說，我們可以證明

T（n）= 2 ^{n + 1} - 1

我們可以通過歸納來做到這一點 作為我們的基本情況，T（0）= 1 = 2 ¹ - 1，因此聲明適用於n = 0.現在假設對於某些n，T（n）= 2 ^{n + 1} - 1.然后我們得到

T（n + 1）= 2T（n）+ 1 = 2（2 ^{n + 1} - 1）+ 1 = 2 ^{n + 2} - 2 + 1 = 2 ^{n + 2} - 1

我們完成了！ 由於這種重復發生在2 ^{n + 1} - 1 = 2（2 ⁿ ） - 1，我們得到運行時間是Θ（2 ⁿ ）。

第二個函數的運行時可以遞歸地描述為

T（0）= 1

T（n + 1）= T（n）+ 1

擴展一些條款：

• T（0）= 1
• T（1）= T（0）+ 1 = 1 + 1 = 2
• T（2）= T（1）+ 1 = 2 + 1 = 3
• T（3）= T（2）+ 1 = 3 + 1 = 4

這給出了1,2,3,4 ......，所以我們可能會猜測更多

T（n）= n + 1

我們可以再次證明這一點。 作為基本情況，如果n = 0，則T（0）= 1 = 0 + 1.對於歸納步​​驟，假設對於某些n，T（n）= n + 1。

T（n + 1）= T（n）+ 1 = n + 1 + 1 = n + 2

我們完成了！ 由於運行時為n + 1，因此運行時為Θ（n）。

希望這可以幫助！

Answer 2

使用遞歸樹查找成本（通過可視化圖表）。

函數代價的遞歸關系（n）

                    T(n) = 2T(n-1)+c

If at kth level input size become 0 (base condition where func terminates)
                                           n-k =0
                                              k=n


Total cost of the function (adding cost of each level) :
             T(n) = 2^0*c+ 2^1*c + 2^2*c + 2^3*c +.. .. . .+ 2^n * c
                  = O(2^n)

類似的方式我們可以找到第二個函數的時間復雜度。