這些 Big-O 符號對於簡單的循環函數 (Python) 是否正確？

Question

假設我們有以下兩個函數：

def is_prime(x):
    """Take an integer greater than 1 and check if it is a prime number."""
    for i in range(2, int(x**0.5) + 1):
        if x % i == 0:
            return False
    return True

def multiply(a, b):
    """Take two integers and compute their product."""
    res = 0
    for i in range(1, b + 1):
        res += a
    return res

說is_prime的 Big-O 表示法是O(c)而multiply是O(n)是否正確？

我有點困惑，因為我認為循環在復雜性方面至少是O(n) ，但是使用is_prime function，它只需要一個輸入並計算一個結果，我認為它不會隨其大小而變化？ 澄清贊賞以更好地理解簡單函數的 Big-O 表示法。

Answer 1

說 is_prime 的 Big-O 表示法是 O(c) 並且乘法是 O(n) 是否正確？

不。

讓我們采用第一個算法。

for i in range(2, int(x**0.5) + 1):

執行sqrt(x) - 1次，因為for循環從2開始。 所以復雜度是O(sqrt(x)) 。

讓我們采用第二種算法。

for i in range(1, b + 1):

執行b次。 所以復雜度是O(b)

Answer 2

如果不解釋“n”到底是什么以及你到底在數什么，就說“這是 O(n)”是沒有意義的。

您還需要指定您是在談論空間復雜度、步復雜度還是時間復雜度，以及您是在談論最佳情況、預期情況、平均情況、攤銷最壞情況還是最壞情況。

讓我們從頭開始。 通常，我們將復雜度表示為輸入長度的 function。 這很重要，因為這里的輸入是數字，數字的長度當然不是數字的值，而是位數。 但是，正如我們稍后將看到的，在這種特殊情況下，查看數字本身的值實際上更方便。 完全允許這樣做，我們只需要清楚地定義我們在談論的是什么。

另外，假設我們對步長復雜度（而不是時間復雜度或空間復雜度）感興趣並且我們對最壞情況感興趣。

最后，我們需要定義我們要計算的是什么，所以假設我們正在計算固定大小整數上的“原始操作”。 （其中“原始操作”是 +、-、*、/、%、&、|、^、~）。 我們將假設這些原始操作采取有限數量的步驟，並以某個常數為界。

好的，現在我們已經定義了我們感興趣的內容（最壞情況的步長復雜度）、我們正在計算的內容（對固定大小整數的原始操作）以及“n”是什么（輸入的值），我們可以 go並仔細研究算法。

在is_prime中， for循環在最壞的情況下迭代范圍從 2 到 floor(sqrt(x)+1) 的項目。 （這里最壞的情況是數字x是素數。）因此，循環體執行到 floor(sqrt(x)) 次。

但是，我們還需要查看循環體的內容。 模運算a % b的步長復雜度為 O(length(a))或 O(log_2 a)。

因此，總的來說， is_prime(x)的最壞情況步復雜度是 O(floor(sqrt(x)) * log_2 x) 對固定大小整數的原始操作，或者簡化一點 O(sqrt(x) *日志 x)。

我們可以對multiply進行類似的分析：循環執行b次。 循環體由一個加法組成。 add(x, y) 的最壞情況步復雜度為 O(length(x + y))或 O(max(length(x), length(y))) 或 O(length(max(x, y))) 或 O(log_2(max(x, y)))。

因此，在循環的每次迭代中，成本為 O(log_2(max( res , a )))。 由於循環的第二次迭代后res總是大於a ，我們可以將其簡化為 O(log_2( res )) 或 O(log ( a * i ))。

因此，總時間復雜度為 O(SUM[log_2( a * i) over i from 1 to b ])， 根據 Wolfram Alpha為 O(log( a b * Pochhammer[1, b ]))，其中Pochhammer 符號是上升階乘。

不幸的是，我真的不知道如何進一步簡化。 我們能做的就是退后一步，對循環體做一個最壞情況的假設：最壞的情況是最后一次迭代，其中res = ( b -1) * a ，因此加法大約需要 O(日志（ b * a ））。 那么我們可以說multiply是 O( b * log( b * a )) 或 O( b * (log b + log a ))，我們知道這被高估了。

還要注意，到目前為止我們完全忽略了循環的每次迭代都有一個隱藏操作：我們需要分配數字i 。 分配數字是 O(length(i)) 或 O(log_2 i)。 我將把這個操作作為一個練習，但請注意，例如，對於is_prime ，它還涉及 Pochhammer 符號。

請注意，步驟復雜性如此復雜並不特別令人驚訝。 例如，如果您查看Wikipedia 上各種眾所周知的乘法算法的時間復雜度，您還會看到類似 O(n ^{log 2k-1 / _{log k}} ) 的k-way Toom-Cook 乘法結果，其中 n 是數字較長數字的位數，k是算法的參數。

Answer 3

大O

對於第一個循環，正如我的評論O(sqrt(x))中提到的那樣，因為您正在循環從某個范圍到最大sqrt(x)+c的數字，其中 c 是一個常數。

由於循環中的內容不會影響循環過程，因此時間復雜度保持不變。

同樣，對於第二個，您從range(1,b+1)循環，即O(b+1) = O(b) 。 b增長得越多，您的算法實現其目的所需的時間就越多。 （ Linearity ）。

但是，例如，如果循環受到循環內發生的任何事情的影響，則復雜性可能會發生變化。

類似於第一個循環的簡單示例

b=50
for i in range(1,b):
    if i> b**0.5:
        break
    else:
        print(i)

基於條件的這個循環的復雜度是O(sqrt(b)) 。 換句話說，不要只閱讀for...行並假設其復雜性。