內部循環遞歸函數的時間復雜度分析

Question

我正在嘗試分析以下功能的時間復雜度。 此函數用於檢查一個字符串是否由其他字符串組成。

set<string> s; // s has been initialized and stores all the strings
bool fun(string word) {
    int len = word.size();

    // something else that can also return true or false with O(1) complexity

    for (int i=1; i<=len; ++i) {
       string prefix = word.substr(0,i);
       string suffix = word.substr(i);
       if (prefix in s && fun(suffix))
           return true;
       else
           return false;
    }
}

我認為時間復雜度為O(n) ，其中n是單詞的長度（我對嗎？）。 但是由於遞歸位於循環內部，所以我不知道如何證明這一點。

編輯：

此代碼不是正確的C++代碼（例如prefix in s ）。 我只是展示了此函數的概念，並想知道如何分析其時間復雜度

Answer 1

分析此問題的方法是通過根據輸入的長度和前綴在s的（未知）概率建立遞歸關系。 我們假設前綴在s中的概率由前綴長度L的某個函數pr（L）給出。 令復雜度（操作數）由T（len）給出。

如果len == 0（ word是空字符串），則T =1。（該函數在循環后缺少最后一個return語句，但是我們假設實際代碼只是該構思的草圖，而不是內容的縮寫）實際執行）。

對於每次循環迭代，用T（len; i）表示循環體的復雜度。 如果前綴不在s ，則主體具有恆定的復雜度（T（len; i）= 1）。 該事件的概率為1-pr（i）。

如果前綴在s ，則該函數根據對fun(suffix)的遞歸調用返回true或false ，其復雜度為T（len-i）。 此事件的概率為pr（i）。

因此，對於i每個值，循環體的復雜度為：

T（len; i）= 1 *（1- pr（i））+ T（len-i）* pr（i）

最后（這取決於預期的邏輯，而不是發布的代碼），我們有

T（len）=總和_{i = 1 ... len} （T（len; i））

為簡單起見，讓我們將pr（i）視為值為0.5的常數函數。 然后，T（len）的遞歸關系為（直到一個常數因子，這對於O（）計算而言並不重要）：

T（len）=總和_{i = 1 ... len} （1 + T（len-i））= len +總和_{i = 0 ... len-1} （T（i））

如上所述，邊界條件為T（0）=1。這可以通過標准遞歸函數方法解決。 讓我們看一下前幾個術語：

len   T(len)
0     1
1     1 + 1 = 2
2     2 + 2 + 1 = 5
3     3 + (4 + 2 + 1) = 11
4     4 + (11 + 5 + 2 + 1) = 23
5     5 + (23 + 11 + 5 + 2 + 1) = 47

模式顯然是T（len）= 2 * T（len-1）+1。這對應於指數復雜度：

T（n）= O（2 ⁿ ）

當然，此結果取決於我們對pr（i）所做的假設。 （例如，如果所有i的pr（i）= 0，則T（n）= O（1）。如果pr（i）具有最大前綴長度-pr（i）=對於所有i> 0>對於某些M，M。）pr（i）獨立於i的假設可能是不現實的，但這實際上取決於s的填充方式。

Answer 2

假設您已解決其他人指出的錯誤，則i值是要分割字符串的位置（每個i是最左側的分割點，然后遞歸i右側的所有內容）。 這意味着，如果要平移遞歸，則要查看多達n-1不同的拆分點，並詢問每個子字符串是否為有效單詞。 如果word的開頭沒有您集合中的很多元素，那么事情就可以了，從那時起您可以跳過遞歸。 但是在最壞的情況下， prefix in s始終為true，並且您嘗試n-1分割點的所有可能子集。 這給出了2^{n-1}不同的拆分集，乘以每個此類拆分集的長度。