簡單循環時間復雜度內的遞歸函數

Question

為什么在for循環內調用遞歸函數會導致時間復雜度為O（2 ^ N）而不是下面這段代碼的O（N 2 ^ N） 。 基於《 CTCI》一書。

void allFib(int n){
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        System.out.println(i + ":  "+  fib(i)); 
    }
}

int fib(n){
    if  (n  <=  0)  return 0;
    else if  (n  ==  1)  return 1; 
    return fib(n - 1)  +  fib(n -2);
}

Answer 1

將遞歸函數視為在樹中計算值。

        fib(n)
         /\
        /  \
 fib(n-1)   fib(n-2)

如果仔細查看n = 2 ，將要計算3值，即2^(1+1) - 1 = 3 ，其中1是樹的高度，如2^(h+1)-1

對於n = 3 ，高度為h = 2

對於n = 4 ，高度為h = 3

對於所有n ，您需要添加所有這些： 2^2 - 1 + 2^3 - 1 + 2^4 - 1 + ....2^n - 1 >約為2^(n+1)

因此，您得到O(2^n)