简单循环时间复杂度内的递归函数

Question

为什么在for循环内调用递归函数会导致时间复杂度为O（2 ^ N）而不是下面这段代码的O（N 2 ^ N） 。 基于《 CTCI》一书。

void allFib(int n){
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        System.out.println(i + ":  "+  fib(i)); 
    }
}

int fib(n){
    if  (n  <=  0)  return 0;
    else if  (n  ==  1)  return 1; 
    return fib(n - 1)  +  fib(n -2);
}

Answer 1

将递归函数视为在树中计算值。

        fib(n)
         /\
        /  \
 fib(n-1)   fib(n-2)

如果仔细查看n = 2 ，将要计算3值，即2^(1+1) - 1 = 3 ，其中1是树的高度，如2^(h+1)-1

对于n = 3 ，高度为h = 2

对于n = 4 ，高度为h = 3

对于所有n ，您需要添加所有这些： 2^2 - 1 + 2^3 - 1 + 2^4 - 1 + ....2^n - 1 >约为2^(n+1)

因此，您得到O(2^n)