查找給定范圍內的最小元素大於給定數字

Question

我們在2D平面上給出N（N <= 10 ⁶ ）個點並且給出整數D（N <= 10 ⁶ ），我們想要找到兩個點p1，p2（p1右邊的p2）使得它們之間的差異p1.y和p2.y至少是D和p2.x - p1.x被最小化。

x軸和y軸的范圍為0..10 ⁶

這是USACO過去的比賽中的一個問題 。

這是我嘗試解決它：
MAXY = N個點中的最大y軸。
假設我們知道p1，那么我們很容易找到p2; 通過取y軸在p1.y+D到MAXY范圍內或在0到p1.yD范圍內的所有點，取x軸最小的點大於px 。 這將是p2的最佳選擇。

但是由於我們不知道p1，我們將不得不嘗試p1的所有點，因此找到p2的最佳選擇應該有效地完成。

我使用了一個分段樹。 樹中的每個節點都將按照x軸的排序順序存儲相應范圍內的所有點。 在查詢時，如果一個節點落在查詢范圍內，那么我們在數組上二進制搜索p1.x並返回大於它的最小元素。

對於p1的每個選擇，我們使用范圍0，p1.yD和p1.y + D，MAXY兩次查詢樹，並且在返回的兩個點中取最佳值。

樹的構建可以在O（NlogN）時間內完成。 每個查詢都需要O（logN * logN）時間，我們進行N次查詢，因此所花費的總時間為（Nlogn * logn），可能不會在2秒的時間限制內運行。 （10 ⁶ * 20 * 20）。 所采用的存儲器也將是O（NlogN），其大約為80mb（100000 * 20 * 4kb），這太大，因為限制是64mb。

我們如何更快地進行查詢並使用更小的空間？

Answer 1

它可以更輕松地完成。

假設您有兩個數組副本：一個按Y軸排序，另一個按X軸排序。 現在，您將遍歷Y排序的數組，並且對於每個點（讓它命名為cur），您應該在X排序的數組中二進制搜索適當的點（具有最小的p2.x - p1.x）。 如果二進制搜索會找到相同的點或Y坐標小於cur + D的點，你應該從X排序的數組中刪除該點（我們再也不需要在X排序的數組中的那個點，因為我們只增加Y坐標）並再次運行二進制搜索。 答案將是二進制搜索結果中最小的一個。

由於我們需要快速計時，我們應該快速從陣列中擦除點。 它可以通過使用二叉樹來完成 - 它可以在O（logN）時間內擦除任何節點，並且可以在O（logN）時間內進行二進制搜索。 當您從樹中刪除每個節點一次並且需要O（logN + logN）時間時 - 總時間將為O（N * logN）。 預處理時間也是O（N * logN）。 所采用的存儲器也將是O（N）。

順便說一句，你的解決方案也是合適的，因為實際N是10 ^ 5而不是10 ^ 6。 這使您的解決方案可以將時間保持在2秒以下，並使用少於20MB的內存。

Answer 2

怎么樣做排序和掃描。

按x排序，因為您希望找到x的最小差異。 它需要O（N logN）時間和到位。

從x的頭部維護兩個索引i和j。

首先越快，找到| P [i] .y - P [j] .y |的位置 > D.

並且X = | P [i] .x - P [j] .x | 是您的第一個選擇。

然后通過向前移動索引來更新X. 嘗試P [i + 1]，從P [i + 2]掃描為P [j]並增加直到| P [i] .x - P [j] .x | > = X.如果有可用的新X，請將其設置為X.

這可能首先會做很多比較。 但是既然你更新了你的X，不知何故會讓你的比較范圍縮小。