4D到3D透視投影

Question

我正在嘗試計算3D世界中4D點的位置。 我從2D開始，嘗試將其擴展到3D，然后擴展到4D。 首先，我發現它很容易計算2D點在直線上的投影位置。

Whoops, there should be () in the first equation: x/(a+y)

現在我發現，如果我將P（X，Y，Z）拆分為P1（X，Z）和P2（Y，Z），計算它們的Q，然后建立一個點，則在3D世界中同樣適用P'（Q1，Q2）（假設Im從C（0，-a）點看Z軸正無窮大並渲染到XY平面）。

nx = (a*x)/(a+z);
ny = (a*y)/(a+z);

然后我認為它就像添加下一個點P3一樣簡單，並提出了

nx = (a*x)/(a+z);
ny = (a*y)/(a+z);
nw = (a*w)/(a+z);

我覺得這很奇怪，因為W（新軸）實際上僅影響最后一點的Z，並且在提及tesseract時，它應該影響所有尺寸...

這是行不通的，所以我想問一下您是否可以提供一些有關Im做錯了什么的詳細信息。 我非常確定這是“點拆分”問題，方程式應該更復雜。 請不要用矩陣和四元數來攻擊我。 我只想在（0，-1）擁有一個簡單的靜態相機，看着（0,0）...

謝謝你的幫助！

Answer 1

• 在2D （x，y）中，y = 0上的投影表示線與線的交點：
  

   x'/a = x/(a+y) 

• 在3D （x，y，z）中，z = 0上的投影表示線與平面的交點：
  

   for y=0: x'/a = x/(a+z) for x=0: y'/a = y/(a+z) 

• 在4D （x，y，z，w）中，投影到w = 0表示線與超平面的交點：
  

   for y=0, z=0: x'/a = x/(a+w) for x=0, z=0: y'/a = y/(a+w) for x=0, y=0: z'/a = z/(a+w) 

• ...等等

或者，可以使用參數形式來計算直線和超平面的交點，其中直線的描述如下：

[px,py,pz,pw] = [p0x,p0y,p0z,p0w] + t * [p1x,p1y,p1z,p1w]

其中參數t是任何數字

超平面的描述如下：

[hx,hy,hz,hw] = [h0x,h0y,h0z,h0w] + a * [h1x,h1y,h1z,h1w] + b * [h2x,h2y,h2z,h2w] + c * [h3x,h3y,h3z,h3w]

現在可以通過求解找到交點：

[px,py,pz,pw] = [hx,hy,hz,hw]

或更明確：

[p0x,p0y,p0z,p0w] + t * [p1x,p1y,p1z,p1w] = [h0x,h0y,h0z,h0w] + a * [h1x,h1y,h1z,h1w] + b * [h2x,h2y,h2z,h2w] + c * [h3x,h3y,h3z,h3w]

除非線平行於超平面，否則可以求解4個方程（每個x，y，z，w維一個）和4個未知數（a，b，c，t）。

上面的想法受4D分析幾何的約束（其中w分量代表自己單獨的維），不應將它們與齊次坐標混合（其中w分量用於將平移/投影集成到4D矩陣中並被丟棄）在圖形流水線的末端附近按透視圖划分）。