在河內塔中找到第k個舉動

Question

def hanoi_move ( start , via , target ,n ,k ):
    """ finds the k-th move in an Hanoi Towers instance
    with n discs """
    if n <=0:
        return "zero or fewer disks"
    elif k <=0 or k >=2** n or type(k )!= int :
        return "number of moves is illegal"
    elif k ==2**( n -1):
        return str . format ("disk {} from {} to {}",n , start , target )
    elif k <2**( n -1):
         return hanoi_move ( start , target , via ,n -1 , k)
    else:
        return hanoi_move ( via , start , target ,n -1 ,k -2**( n -1))

為什么要看2 ^（n-1）的移動？ 您可以解釋一下代碼嗎？

Answer 1

TL; DR版本-將n-1個磁盤堆棧從一個位置移動到另一位置需要2 ^（n-1）-1個動作，因此此代碼正在查看是否要移動第n個磁盤，或者將n-1個磁盤的堆棧移入或移出第n個磁盤。

完整答案：

要了解為什么此代碼着眼於第（n-1）個移動以便確定第k個移動是什么，需要了解移動整個河內塔的背后的基本思想。

讓我們看一個例子。 我們有點A，B和C，還有一個10塊磁盤的塔，該磁盤要從位置A開始移動到位置C。我們將說磁盤9是最大的，第二個磁盤是8，以此類推。 ，它看起來像這樣：

A 9876543210
B
C

那么我們如何將所有內容移至C？ 好吧，我們需要將基礎磁盤（9）移至C，因此我們首先將其移走，如下所示：

A 9
B 876543210
C

然后我們可以移動磁盤9

A
B 876543210
C 9

然后將九個磁盤的堆棧移回到磁盤9上，最終像這樣：

A
B
C 9876543210

當然，我跳過了如何移動九個磁盤的堆棧的整個部分，但這為您提供了基本的思想-移動堆棧需要先移動除底部磁盤以外的所有磁盤，然后再移動底部磁盤，然后再移動將其余磁盤移回其頂部。

所以這段代碼問“我們在這個過程中在哪里？” 如果k等於2 ^（n-1），則我們當前正在移動我們當前要移動的堆棧的底部磁盤。 如果k小於該值，則我們仍處於將磁盤堆棧移出底部磁盤的中間階段。 如果k大於該值，我們將嘗試將磁盤堆棧移回底部磁盤。 使用上面的簡單示例，如果k = 2 ^（10-1）= 2 ^ 9 = 512，則我們將磁盤9從A移到C。如果k小於512，則我們仍在移動過程中將磁盤0到8從磁盤9移到點B。如果k大於512，則我們在k -512處將磁盤0到8從點B移回到點C的磁盤9中。

我們怎么知道2 ^（n-1）是要使用的正確值？ 使用數學歸納法，我們可以證明最多需要（2 ^ n）-1個動作才能移動n個磁盤的堆棧。 這是一個快速證明：

歸納基礎：要移動n = 1個磁盤的堆棧，需要（2 ^ n）-1 =（2 ^ 1）-1 = 1的移動-移動唯一的磁盤。 歸納步驟：假設它適用於n個磁盤（即，最有效的移動堆棧方式需要（2 ^ n）-1個移動）。 然后，要移動一堆n + 1個磁盤，我們首先使用最有效的方法從底部磁盤移出頂部n個磁盤（采取（2 ^ n）-1個移動），移動底部磁盤（1個移動） ，然后將其他n個磁盤移回底部磁盤的頂部（（2 ^ n）-1再次移動）。 因此，我們采取的總動作數為（2 ^ n）-1 + 1 +（2 ^ n）-1 = 2 *（2 ^ n）-1 =（2 ^（n + 1））-1個動作。

如果您以前沒看過歸納法，這看起來可能很復雜，但是基本思路是這樣的-因為我們知道它適用於一個磁盤，所以我們知道它適用於兩個磁盤。 由於我們現在知道它適用於兩個磁盤，因此它適用於三個磁盤。 因為我們現在知道它適用於三個磁盤...等等。 歸納步驟適用於任意n，因此我們可以根據需要多次應用它。 因此，對於任何有限的n，我們都知道，移動n個磁盤的最快方法是（2 ^ n）-1個移動。

因此，現在的問題是，第n個磁盤在哪個磁盤上移動？ 在第（2 ^（n-1））-1個步驟中，我們可以完成將n-1個磁盤堆棧移至底部磁盤頂部的操作。 然后，在第（2 ^（n-1））-1 + 1 = 2 ^（n-1）次移動中，我們可以移動底部磁盤。