Gradient Descent Matlab實現

Question

我在堆棧溢出中經歷了很多代碼並且在同一行上創建了自己的代碼。 這段代碼有些問題我無法理解。 我存儲值theta1和theta 2以及成本函數用於分析目的。 可以從此Openclassroom頁面下載x和Y的數據。 它具有.dat文件形式的x和Y數據，您可以在記事本中打開它們。

    %Single Variate Gradient Descent Algorithm%%
    clc
clear all
close all;
% Step 1 Load x series/ Input data and Output data* y series

x=load('D:\Office Docs_Jay\software\ex2x.dat');
y=load('D:\Office Docs_Jay\software\ex2y.dat');
%Plot the input vectors
plot(x,y,'o');
ylabel('Height in meters');
xlabel('Age in years');

% Step 2 Add an extra column of ones in input vector
[m n]=size(x);
X=[ones(m,1) x];%Concatenate the ones column with x;
% Step 3 Create Theta vector
theta=zeros(n+1,1);%theta 0,1
% Create temporary values for storing summation

temp1=0;
temp2=0;
% Define Learning Rate alpha and Max Iterations

alpha=0.07;
max_iterations=1;
      % Step 4 Iterate over loop
      for i=1:1:max_iterations

     %Calculate Hypothesis for all training example
     for k=1:1:m
        h(k)=theta(1,1)+theta(2,1)*X(k,2); %#ok<AGROW>
        temp1=temp1+(h(k)-y(k));
        temp2=temp2+(h(k)-y(k))*X(k,2);
     end
     % Simultaneous Update
      tmp1=theta(1,1)-(alpha*1/(2*m)*temp1);
      tmp2=theta(2,1)-(alpha*(1/(2*m))*temp2);
      theta(1,1)=tmp1;
      theta(2,1)=tmp2;
      theta1_history(i)=theta(2,1); %#ok<AGROW>
      theta0_history(i)=theta(1,1); %#ok<AGROW>
      % Step 5 Calculate cost function
      tmp3=0;
      tmp4=0;
      for p=1:m
        tmp3=tmp3+theta(1,1)+theta(2,1)*X(p,1);
        tmp4=tmp4+theta(1,1)+theta(2,1)*X(p,2);
      end
      J1_theta0(i)=tmp3*(1/(2*m)); %#ok<AGROW>
      J2_theta1(i)=tmp4*(1/(2*m)); %#ok<AGROW>


      end
      theta
      hold on;
      plot(X(:,2),theta(1,1)+theta(2,1)*X);

我正在獲得價值

θ為0.0373和0.1900，應為0.0745和0.3800

這個值大約是我期待的兩倍。

Answer 1

我一直在嘗試用矩陣和向量來實現迭代步驟（即不更新theta的每個參數）。 這是我想出的（這里只有漸變步驟）：

h = X * theta;  # hypothesis
err = h - y;    # error
gradient = alpha * (1 / m) * (X' * err); # update the gradient
theta = theta - gradient;

難以掌握的是前面例子的梯度步驟中的“和”實際上是由矩陣乘法X'*err 。 你也可以把它寫成(err'*X)'

Answer 2

我設法創建了一個使用Matlab支持的更多矢量化屬性的算法。 我的算法與你的算法略有不同，但是你提出的是梯度下降過程。 在我執行的執行和驗證（使用polyfit函數）之后，我認為在1500次迭代步驟之后，變量theta（0）= 0.0745和theta（1）= 0.3800中預期的openclassroom（練習2）中的值是錯誤的0.07（我不回應）。 這就是為什么我用一個圖中的數據繪制我的結果，而另一個圖中的數據繪制了所需的結果，我發現數據擬合程序有很大差異。

首先看一下代碼：

% Machine Learning : Linear Regression

clear all; close all; clc;

%% ======================= Plotting Training Data =======================
fprintf('Plotting Data ...\n')

x = load('ex2x.dat');
y = load('ex2y.dat');

% Plot Data
plot(x,y,'rx');
xlabel('X -> Input') % x-axis label
ylabel('Y -> Output') % y-axis label

%% =================== Initialize Linear regression parameters ===================
 m = length(y); % number of training examples

% initialize fitting parameters - all zeros
theta=zeros(2,1);%theta 0,1

% Some gradient descent settings
iterations = 1500;
Learning_step_a = 0.07; % step parameter

%% =================== Gradient descent ===================

fprintf('Running Gradient Descent ...\n')

%Compute Gradient descent

% Initialize Objective Function History
J_history = zeros(iterations, 1);

m = length(y); % number of training examples

% run gradient descent    
for iter = 1:iterations

   % In every iteration calculate hypothesis
   hypothesis=theta(1).*x+theta(2);

   % Update theta variables
   temp0=theta(1) - Learning_step_a * (1/m)* sum((hypothesis-y).* x);
   temp1=theta(2) - Learning_step_a * (1/m) *sum(hypothesis-y);

   theta(1)=temp0;
   theta(2)=temp1;

   % Save objective function 
   J_history(iter)=(1/2*m)*sum(( hypothesis-y ).^2);

end

% print theta to screen
fprintf('Theta found by gradient descent: %f %f\n',theta(1),  theta(2));
fprintf('Minimum of objective function is %f \n',J_history(iterations));

% Plot the linear fit
hold on; % keep previous plot visible 
plot(x, theta(1)*x+theta(2), '-')

% Validate with polyfit fnc
poly_theta = polyfit(x,y,1);
plot(x, poly_theta(1)*x+poly_theta(2), 'y--');
legend('Training data', 'Linear regression','Linear regression with polyfit')
hold off 

figure
% Plot Data
plot(x,y,'rx');
xlabel('X -> Input') % x-axis label
ylabel('Y -> Output') % y-axis label

hold on; % keep previous plot visible
% Validate with polyfit fnc
poly_theta = polyfit(x,y,1);
plot(x, poly_theta(1)*x+poly_theta(2), 'y--');

% for theta values that you are saying
theta(1)=0.0745;  theta(2)=0.3800;
plot(x, theta(1)*x+theta(2), 'g--')
legend('Training data', 'Linear regression with polyfit','Your thetas')
hold off 

好的結果如下：

使用由我的算法產生的theta（0）和theta（1），該行適合數據。

以theta（0）和theta（1）作為固定值，結果該行不適合數據。

Answer 3

以下是一些評論：

1. max_iterations設置為1 。 通常運行梯度下降，直到目標函數的減小低於某個閾值或者梯度的幅度低於某個閾值，這可能是多於一次迭代。

2. 系數1 /（2 * m）在技術上並不正確。 這不應該導致算法失敗，但會有效地降低學習速度。

3. 你沒有計算正確的目標。 正確的線性回歸目標應該是平方殘差平均值的一半，或者是殘差平方和的一半。

4. 您應該利用matlab的矢量化計算，而不是使用for循環。 例如， res=X*theta-y; obj=.5/m*res'res; res=X*theta-y; obj=.5/m*res'res; 應計算殘差（ res ）和線性回歸目標（ obj ）。

Answer 4

你需要把temp1 = 0 temp2 = 0作為迭代循環中的第一個注釋; 如果你不這樣做，你當前的臨時會影響下一次迭代，這是錯誤的

Answer 5

根據您期望的Ɵ （theta）值和程序結果，可以注意到預期值是結果的兩倍。

您可能犯的錯誤是在衍生計算代碼中使用1/(2*m)代替1/m 。 在導數中，分母2消失為原始項是（ _hƟ （x） - y） ² ，在分化時產生2 *（ _hƟ （x） - y） 。 2s取消了。

修改這些代碼行：

J1_theta0(i)=tmp3*(1/(2*m)); %#ok<AGROW>
J2_theta1(i)=tmp4*(1/(2*m)); %#ok<AGROW>

至

J1_theta0(i)=tmp3*(1/m); %#ok<AGROW>
J2_theta1(i)=tmp4*(1/m); %#ok<AGROW>

希望能幫助到你。