SciPy-從有向圖導出的約束最小化

Question

我正在尋找以下圖形問題的解決方案，以便在Python中執行圖形分析。

基本上，我有N個節點的有向圖，我知道以下幾點：

• 每個節點的邊緣權重之和
• 每個節點的邊緣權重之和
• 根據以上所述，邊緣內所有節點的總和等於邊緣外總和
• 沒有節點具有邊緣
• 所有權重均為正（或為零）
• 不過，我什么都不知道到哪個節點給定節點可能有一個邊緣，或任何邊的權重是什么

表示為加權鄰接矩陣，我知道列總和和行總和，但不知道邊緣本身的值。 我已經意識到，沒有唯一的解決方案可以解決這個問題（鑒於上述情況，沒有人能證明這一點嗎？）。 但是，我希望至少能找到一個解決方案 ，使邊緣權重的總和最小或使邊緣權重為0或沿這些線的東西最大化（基本上，從無限選擇中，我會像最“簡單”的圖表）。

我已經考慮過將其表示為：

每個節點的最小總和（所有邊緣權重）st，其邊緣權重的總和等於這些總和的已知總和，其邊緣權重的總和等於這些總和的已知總和。 此外，進行約束以使所有權重均> = 0

我主要將其用於Scipy和Numpy中的數據分析。 但是，使用它們的約束最小化技術，我將得到來自邊緣權重和部分的大約2N ^ 2-2N約束，以及來自正部分的N個約束。 我擔心這對於大數據集將不可行。 我最多可以有500個節點。 使用SciPy的fmin_cobyla，這是否可行？ 有沒有另一種方法可以解決這個問題/在Python中使用另一個更有效的求解器？

非常感謝！ 關於StackOverflow的第一篇文章。

Answer 1

盡管不知道您的實際問題是什么，但情況聽起來像是“ 分配問題” ，因此您應該查看匈牙利算法 。

Answer 2

禁止自流使該問題的某些實例不可行（例如，一個節點的流入和流出流量為1）。 否則，總能找到一個稀疏的解決方案，該解決方案最多具有一個自流。 初始化兩個隊列，一個用於從最低ID到最高的正流出的節點，另一個用於從最高ID到最低的正流入的節點的隊列。 將流量從第一個隊列的前端節點添加到第二個隊列的前端節點，其數量等於前者的流出量和后者的流入量的最小值。 將流出和流入更新為它們的殘值，並從其隊列中刪除耗盡的節點。 由於第一個隊列的前端的ID增加，而第二個隊列的前端的ID減少，因此，自流的唯一節點是ID編號交叉的節點。

使總流量最小化是微不足道的； 它是恆定的。 找到最簡單的解決方案是NP難的。 子集總和減少了，其中被求和的每個元素都有一個具有該流出量的源節點，另外兩個接收器節點都有流入，其中一個等於目標總和。 當且僅當沒有源流向兩個接收器時，子集和實例才可解。 上面的算法是2近似值。

要稀疏地擺脫那個壞節點上的自流：反復獲取不涉及壞節點的流，並通過壞節點將其分成兩部分。 當我們耗盡自流時停下來。 僅當沒有剩余的不使用壞節點的流且仍然存在自流時，此操作才會失敗，在這種情況下，壞節點的流入和流出總和大於總流量，這是必要的解決方案存在的條件。 該算法的稀疏度為4近似值。