在R中使用optim（）來重現Fisher關於球形數據的書的結果

Question

我正在嘗試重現“球形數據的統計分析”的結果。 我想計算球面中位數（你可以看http://www.jstor.org/stable/2345577的公式，等式1，我不知道如何在這里正確地寫出來）。 我使用本書的B1數據集：

lat1=c(-26.4,-32.2,-73.1,-80.2,-71.1,-58.7,-40.8,-14.9,-66.1,-1.8,-52.1,-77.3,-68.8,-68.4,
   -29.2,-78.5,-65.4,-49,-67,-56.7,-80.5,-77.7,-6.9,-59.4,-5.6,-62.6,-74.7,-65.3,-71.6,
   -23.3,-74.3,-81,-12.7,-75.4,-85.9,-84.8,-7.4,-29.8,-85.2,-53.1,-38.3,-72.7,-60.2,-63.4,
   -17.2,-81.6,-40.4,-53.6,-56.2,-75.1)

long1=c(324,163.7,51.9,140.5,267.2,32,28.1,266.3,144.3,256.2,83.2,182.1,110.4,142.2,246.3,222.6,247.7,
    65.6,282.6,56.2,108.4,266,19.1,281.7,107.4,105.3,120.2,286.6,106.4,96.5,90.2,170.9,199.4,118.6,
    63.7,74.9,93.8,72.8,113.2,51.5,146.8,103.1,33.2,154.8,89.9,295.6,41.0,59.1,35.6,70.7)

library('sphereplot')
B1=data.frame(long=long1,lat=lat1)
a=sph2car(B1$long,B1$lat)
x=a[,1]
y=a[,2]
z=a[,3]

我首先檢查數據：

sqrt(x^2+y^2+z^2)

data1=data.frame(x,y,z)

median.direction <- function(par, data1) {
sum(acos(par[1]*data1[,1]+par[2]*data1[,2]+par[3]*data1[,3]))
}

median.direction2=optim(par=c(0,0,0), fn=median.direction, data1=data1)    
result1=car2sph(median.direction2$par[1],median.direction2$par[2],median.direction2$par[3])

result1

“對於實施例5.1的數據（組B1），球形中值方向是（緯度78.9°，長度98.4°）。”

我不知道我的錯誤在哪里：

我必須和sph2car使用合作嗎？ 優化是否與警告表現良好？

編輯：

Answer 1

這里有幾件事情。

首先，當數據集中的所有緯度都小於0時，很難看出緯度中位數是+ 79°。所以要么你的問題中有一個拼寫錯誤，要么教科書中有錯誤。

其次，您的數據集中在一個極點附近（或多或少）。 在這種情況下，您估計經度的能力本身就會受到影響。 考慮所有數據都在緯度-90°的極端情況。 然后中位數緯度恰好是-90°，但我們對經度中位數一無所知。 所以你的優化問題是經度有一個“淺層最小”（在這個數據集中）。 也就是說，有許多經度與你的目標函數最小化非常接近。 這是一個問題，因為大多數優化器使用局部最小化器 - 它們在接近初始估計的目標函數中尋求最小值。 因此，您得到的答案將取決於您的起點。

第三，鑒於上述情況，您最好使用更強大的優化器（IMO）。 在下面的示例中，我使用nloptr包中的nloptr(...) 。 它使用起來有點困難，但結果對初始估計的敏感度較低。

為了證明這個問題，下面的代碼運行最小化100次，每次都有一個隨機選擇的起始點，並繪制數據和100“最小值”。

library(sphereplot)
library(nloptr)
f <- function(par, data1) {
  sum(acos(par[1]*data1[,1]+par[2]*data1[,2]+par[3]*data1[,3]))
}
opts <- list(algorithm="NLOPT_GN_ISRES",xtol_rel=1.0e-6, maxeval=10000)
# set up the plot
rgl.sphgrid()
points3d(x,y,z, col="red",size=5)

set.seed(1)    # for reproducibility
# 100 initial estimates, randomly distributed on the sphere
N <- 100
xyz.init <- sph2car(long=sample(-180:180,N),lat=sample(-90:90,N))
get.median <- function(i) {
  md     <- nloptr(x0=xyz.init[i,],eval_f=f,
                   lb=c(-1,-1,-1), ub=c(1,1,1),
                   data1=data1, opts=opts)
  xyz    <- md$solution
  lines3d(c(0,xyz[1]),c(0,xyz[2]),c(0,xyz[3]),col="green",lwd=2)
  median <- car2sph(xyz[1],xyz[2],xyz[3])
  cat(".")     # cheap and dirty progress bar...
  return(median)
}  
sph.med  <- do.call(rbind,lapply(1:nrow(xyz.init),get.median))
colMeans(sph.med)
#       long        lat     radius 
#  92.314309 -77.361522   0.998315 

您可以看到優化創建了“中位數”估計的包絡（錐）。 所有這些估計的平均值非常接近書中的結果（除了緯度的符號）。

值得注意的是，盡管最多使用10,000次迭代，但優化通常不會收斂！