查找描述曲線的點集之間的交點

Question

說我有兩點

p1, p2, p3,... ,pn 

和

q1, q2, q3,..., qn

描述了平面中的兩條路徑（曲線）。 這些點可能不是從曲線上均勻采樣的，而是“按順序”（關於曲線的參數化）。 找出這兩條曲線相交的好方法是什么？

例如，我可能每個人只有兩點

(0,0) (1,0)

和

(-5,1) (-4,-1)

在這種情況下，它們的交點為（-4.5,0）。

最簡單的方法是在每兩個點之間繪制一條邊，將它們延伸，然后查看是否有兩對邊在合適的土地上相交。 我很好奇是否有更好的方法。

Answer 1

您可以預處理每條折線 （段鏈），並為每條折線找到一個最小的邊界矩形。 同樣，您可以為每條折線建立一個分層的數據結構-整個折線的矩形，然后是每個折線的矩形等等。 您可以使用其他幾何形式代替矩形-例如，圓形或橢圓形。

然后，您可以使用“ 裁剪和剔除”來加速相交搜索。

Answer 2

您可以圍繞一組點計算邊界框，例如每100對點，僅以anxn方式相交。 邊界框相交可以非常有效地完成。 如果兩個邊界框（每條曲線中的一個邊界）相交，則可以僅測試這些框內所涉及的邊緣是否相交。

當曲線之間有多個交點時，這將處理這種情況。 只需注意邊界情況，當相交點實際上是定義邊的頂點之一時。

Answer 3

找到這種相交的最有效方法是借助掃掠線算法，通過詳盡的比較，該算法可以實現O（n log n + k）個運行時間（n個具有k個相交的線段），優於O（n²）。 參見http://www.ti.inf.ethz.ch/ew/lehre/CG09/materials/v9.pdf 。 不幸的是，這樣的解決方案相當復雜。

一個可能更容易實現的替代方法是使用層次化邊界：取每個段的邊界框，將框兩兩合並（連續段），然后四乘四，依此類推。 從N個分段開始，您將形成N-1個邊界框的層次結構。

然后，要與兩條曲線相交，請檢查其頂層邊界框的干涉。 如果確實重疊，則遞歸檢查子框的干擾，依此類推。

除非您的曲線緊密纏繞在一起，否則您可以省去大量的線段比較。