找到兩個三位數的最大回文乘積：邏輯錯誤是什么？

Question

我想通過以下方式解決此問題：從兩個值999的變量開始，在一個遞減一個的循環中將另一個相乘直到找到回文。 代碼是這樣的：

def is_palindrome(n):
  if str(n) == str(n)[::-1]:
    return True
  else:
    return False

def largest_palindrome_product_of_3_digit():
  x = 999
  y = 999
  for i in reversed(range(x + y + 1)):
    if is_palindrome(x * y):
      return x * y
    if i % 2 == 0:
      x -= 1
    else:
      y -= 1

我的方法的結果是698896，而正確的結果是906609。您能指出我邏輯不正確的地方嗎？

Answer 1

這里有一些提示：

1. 如果n = y * x是（600000，700000）范圍內的任何數字（例如），且y <= x和x <1000，則x的最小可能值是多少？
2. 如果n是回文數，則其第一位和最后一位均為6，那么x和y的最后一位代表什么呢？

現在概括並找出一種有效的算法。 :)

我以前從來沒有做過這個問題，但是我只是編碼了一個相當快速的算法，它比使用的蠻力搜索快2000倍

for x in xrange(2, 1000): 
    for y in xrange(2, x+1):
        n = y*x
        #etc

根據timeit.py，在我的舊機器上，蠻力算法大約需要1.29秒，而我上面暗示的算法大約需要747微秒。

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編輯

我改善了邊界（並稍加修改了算法），並將時間縮短至410微秒。 :)

要在評論中回答您的問題：

是的，我們可以在范圍起點的平方根處開始x，並且可以在x處終止y（以防萬一我們找到回文平方）。

我的第二個提示是，對於x = 10 * I + i，y = 10 * J + j，我們不需要測試i和j的所有81個組合，我們只需要測試它們其中（i * j）％10等於我們想要的數字。 因此，如果我們知道回文起始於9，則（i，j）必須位於[（1，9），（3，3），（7，7），（9，1）]中。

我不認為我應該在這里發布實際的代碼； 在SO上發布完整的解決方案以解決Euler問題，這被認為是不好的形式。 也許有些SO人甚至在人們提供提示時都不喜歡它。 也許這就是為什么我投票不足...

Answer 2

您缺少可能的數字。

您正在考慮O（x + y）數，並且需要考慮O（x * y）數。 從本質上講，您的選擇是將其中一個從999循環到1，然后遞減另一個，然后...

簡單演示：

>>> want = set()
>>> for x in [1, 2, 3, 4, 5]:
...   for y in [1, 2, 3, 4, 5]:
...     want.add(x * y)
... 
>>> got = set()
>>> x = 5
>>> y = 5
>>> for i in reversed(range(x + y + 1)):
...   got.add(x * y)
...   if i % 2:
...     x -= 1
...   else:
...     y -= 1
... 
>>> want == got
False

或者，您確實知道范圍的頂部（999 * 999），並且可以生成該范圍內的所有回文數，從最高到最低。 從那里開始，進行質因子分解並檢查是否存在因子乘數分裂為[100,999]范圍內的兩個數是不重要的。