無向圖中直徑和半徑的關系？

Question

我們只考慮無向圖。 的曲線圖的直徑為最大，過的頂點的所有選擇s和t之間的最短路徑的距離的s和t 。 （回想一下s和t之間s最短路徑距離是st路徑中最少的邊數。）接下來，對於頂點s ，讓l(s)表示最短路徑距離在所有頂點t的最大值在s和t之間。 圖的半徑是頂點s所有選擇中l(s)的最小值。 半徑為r且直徑為d下列哪項始終成立？ 選擇最佳答案。

1) r >= d/2
2) r <= d

我們知道 (1) 和 (2) 在任何寫過的參考書中總是成立的。 我的挑戰是在入學考試中提到的這個問題，只有 (1) 或 (2) 之一應該是真的，OP 說選擇最佳答案，在考試答題紙上寫下 (1) 是最佳選擇。 如何驗證我，為什么（1）比（2）更好。

Answer 1

他們倆都確實是真的。 不要讓含糊不清的問題的考試削弱你的概念。

至於證明：

首先，第二個不等式非常簡單（從定義本身來看）

現在第一個

d <= 2*r

設 z 為中心頂點，則：

e(z)=r

現在，

diameter = d(x,y)       [d(x,y) denotes distance between some vertex x & y]

d(x,y) <= d(x,z) + d(z,y)

d(x,y) <= d(z,x) + d(z,y)

d(x,y) <= e(z) + e(z)       [this can be an upper bound as e(z)>=d(z,u) for all u]

diameter <= 2*r

Answer 2

他們都持有。

2) 應該清楚。

1) 使用三角不等式成立。 我們可以使用這個屬性，因為圖上的距離是一個度量（ http://en.wikipedia.org/wiki/Metric_%28mathematics%29 ）。 使用讓 d(x, z) = 直徑(G) 並讓 y 是 G 的中心（即 G 中存在一個頂點 v 使得 d(y, v) = radius(G)）。 因為 d(y, v) = radius(G) 和 d(y, v) = d(v, y)，我們知道 d(v, z) <= radius(G)。 然后我們有直徑(G) = d(x, z) <= d(y, v) + d(v, z) <= 2*radius(G)。

Answer 3

OP 將 s 和 t 之間的最短路徑距離定義為“st 路徑中最少的邊數”。 這使事情變得更簡單。

我們可以用一些偽代碼來編寫定義：

def dist(s, t):
    return min([len(path)-1 for path starts with s and ends with t])

r = min([max([dist(s, t) for t in V]) for s in V])
d = max([max([dist(s, t) for t in V]) for s in V])

其中V是所有頂點的集合。

現在（2）顯然是正確的。 定義本身說明了這一點： max always >= min 。

(1) 稍微不那么明顯。 它至少需要幾個步驟來證明。

假設d = dist(A, B)和r = dist(C, D) ，我們有

dist(C, A) + dist(C, B) >= dist(A, B),

否則路徑ACB的長度將小於dist(A, B) 。

根據r的定義，我們知道

dist(C, D) >= dist(C, A)
dist(C, D) >= dist(C, B)

因此2 * dist(C, D) >= dist(A, B) ，即2 * r >= d 。

那么哪個更好呢？ 這取決於您如何定義“更好”。 如果我們認為非常正確（或不那么明顯）的東西比非常正確的東西要好，那么我們可能會同意（1）優於（2）。